Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)
————-

Giải bài 4.27 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. \(\overrightarrow u  = (2;3)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {\frac{1}{2};6} \right)\)

B. \(\overrightarrow a  = (\sqrt 2 ;6)\) và \(\overrightarrow b  = (1;3\sqrt 2 )\)

C. \(\overrightarrow i  = (0;1)\) và \(\overrightarrow j  = (1;0)\)

D. \(\overrightarrow c  = (1;3)\) và \(\overrightarrow d  = (2; – 6)\)

Phương pháp giải

Cho \(\overrightarrow a  = (x;y)\) và \(\overrightarrow b  = (z,t)\) (\(z,t \ne 0\))

+) Nếu \(\frac{x}{z} = \frac{y}{t} = k\) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

+) Nếu \(\frac{x}{z} \ne \frac{y}{t}\) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương.

Hướng dẫn giải

A. Ta có: \(\frac{2}{{\frac{1}{2}}} = 4 \ne \frac{3}{6}\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) không cùng phương.

B.  Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 }}{1} = \frac{6}{{3\sqrt 2 }} = \sqrt 2  > 0\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương, hơn nữa là cùng hướng

Chọn đáp án B.

C. Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0.1 + 1.0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow i  \bot \overrightarrow j \)

Vậy \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) không cùng phương.

D. Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ – 6}}\) nên \(\overrightarrow c \) và \(\overrightarrow d \) không cùng phương.

Giải bài 4.28 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. \(\overrightarrow u  = (2;3)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {4;6} \right)\)

B. \(\overrightarrow a  = (1; – 1)\) và \(\overrightarrow b  = ( – 1;1)\)

C. \(\overrightarrow z  = (a;b)\) và \(\overrightarrow t  = ( – b;a)\)

D. \(\overrightarrow n  = (1;1)\) và \(\overrightarrow k  = (2;0)\)

Phương pháp giải

+) Cho \(\overrightarrow u \;(x;y),\;\overrightarrow v \;(z;t)\) thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = x.z + y.t\)

+) \(\overrightarrow u\; \bot\overrightarrow v\Leftrightarrow \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = 0\)

Hướng dẫn giải

A. Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 2.4 + 3.6 = 26 \ne 0\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) không vuông góc với nhau.

B.  Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.( – 1) + ( – 1).1 =  – 2 \ne 0\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không vuông góc với nhau.

C. Ta có: \(\overrightarrow z .\overrightarrow t  = a.( – b) + b.a = 0\) nên \(\overrightarrow z \) và \(\overrightarrow t \) vuông góc với nhau.

D. Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow k  = 1.2 + 1.0 = 2 \ne 0\) nên \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow k \) không vuông góc với nhau.

Chọn đáp án C

Giải bài 4.29 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. \(\overrightarrow a  = (1;1)\)

B. \(\overrightarrow b  = (1; – 1)\)

C. \(\overrightarrow c  = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\)

D. \(\overrightarrow d  = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Phương pháp giải

Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow a \;(x;y)\) theo công thức: \(|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Hướng dẫn giải

A. Ta có: \(\overrightarrow a  = (1;1) \Rightarrow \;|\overrightarrow a |\; = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2  \ne 1\). (Loại)

B. Ta có: \(\overrightarrow b  = (1; – 1) \Rightarrow \;|\overrightarrow b |\; = \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}}  = \sqrt 2  \ne 1\). (Loại)

C. Ta có: \(\overrightarrow c  = \left( {2;\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow \;|\overrightarrow c |\; = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ne 1\). (Loại)

D. Ta có: \(\overrightarrow d  = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow \;|\overrightarrow a |\; = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = 1\). (Thỏa mãn yc)

Chọn D

Giải bài 4.30 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1; – 1} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow b  = ( – 2;0)\) có số đo bằng:

A. \({90^o}\)

B. \({0^o}\)

C. \({135^o}\)

D. \({45^o}\)

Phương pháp giải

Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).

+) Nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\) thì góc giữa 2 vectơ bằng \({90^o}\).

+) Nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  \ne 0\) thì  \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.\;|\overrightarrow b |}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.( – 2) + ( – 1).0 =  – 2 \ne 0\).

Lại có: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}}  = \sqrt 2 ;\;|\overrightarrow b | = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {0^2}}  = 2.\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.\;|\overrightarrow b |}} = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 2 .2}} = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^o}\)

Chọn C

Giải bài 4.31 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } )\overrightarrow c  = \overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b .\overrightarrow c })\)

B. \({( {\overrightarrow a .\overrightarrow b })^2} = {\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}\)

C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = | {\overrightarrow a } |.\left| {\overrightarrow b } \right|\,\sin ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } )\)

D. \(\overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b  – \overrightarrow c }) = \overrightarrow a .\overrightarrow b  – \overrightarrow a .\,\overrightarrow c \)

Phương pháp giải

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = | {\overrightarrow a }|.| {\overrightarrow b }|\,\cos ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b })\)

Hướng dẫn giải

Chọn D . Đây là một tính chất của tích vô hướng.

A. Sai vì \(({\overrightarrow a .\overrightarrow b})\overrightarrow c  = [ {|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\;\,\cos ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } )} ].\overrightarrow c  \ne \)\(\overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b .\overrightarrow c }) = \overrightarrow a \,\,[ {|\overrightarrow b |.|\overrightarrow c |\;\,\cos ( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c })}]\)

B. Sai vì \((\overrightarrow a .\overrightarrow b)^2 = {[{\overrightarrow a .\overrightarrow b  = | {\overrightarrow a } |.| {\overrightarrow b }|\,\cos ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b })}]^2} = {\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}.{\cos ^2}( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } )\)\( \ne \;\;{\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}\)

C. Sai vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = | {\overrightarrow a }|.| {\overrightarrow b } |\,\cos ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }) \ne | {\overrightarrow a }|.| {\overrightarrow b }|\,\sin ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b })\) 

Giải bài 4.32 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}\)

B. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^o}\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = {a^2}\)

C. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = {a^2}\sqrt 2 \)

D. \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  =  – {a^2}\)

Phương pháp giải

Tính tích vô hướng bằng công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Hướng dẫn giải

A. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^o} \ne {45^o}.\) Vậy A sai.

 

B. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CF} ,\overrightarrow {CG} } \right) = {45^o}\) và  \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = AC.BC.\cos {45^o} = a\sqrt 2 .a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}.\)

Vậy B đúng.

 

C. Dễ thấy \(AC \bot BD\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0 \ne {a^2}\sqrt 2.\) Vậy C sai.

 

D. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  = BA.BD.\cos {45^o} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2} \ne  – {a^2}.\) Vậy D sai.

 

Chọn B

Giải bài 4.33 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \)

b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Phương pháp giải

+) Nếu \(MB = k.MC\) và \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng thì  \(\overrightarrow {MB} = -k.\overrightarrow {MC}\) 

+) \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \) (quy tắc cộng)

+) \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

Hướng dẫn giải

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC \( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  – 3.\overrightarrow {MC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)

Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC\) nên \(\overrightarrow {BM}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Giải bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \).

Phương pháp giải

ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow  – \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  =  – \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \end{array}\)

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  – \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}  – \overrightarrow {MC} \) (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {MA}  – \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA} ;\;\;\overrightarrow {MD}  – \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CD} \)

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \) (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)

Cách 3:

Ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC} } \right)\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)\( \Rightarrow  – \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \) (đpcm)

Giải bài 4.35 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Phương pháp giải

a) Tọa độ của vectơ: \(\overrightarrow {BA}  = ({x_A} – {x_B};{y_A} – {y_B})\)

b) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} =0 \), chỉ ra góc vuông trong tam giác ABC.

c) Công thức tọa độ của trọng tâm G là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)

d) BCAD là một hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  \(\overrightarrow {BA}  = (2 – ( – 2);1 – 5) = (4; – 4)\) và \(\overrightarrow {BC}  = ( – 5 – ( – 2);2 – 5) = ( – 3; – 3)\)

b)

Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 4.( – 3) + ( – 4).( – 3) = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  \bot \overrightarrow {BC} \) hay \(\widehat {ABC} = {90^o}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có: \(AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{( – 4)}^2}}  = 4\sqrt 2 \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{( – 3)}^2}}  = 3\sqrt 2 \)

Và \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5\sqrt 2 \) (do \(\Delta ABC\)vuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 .3\sqrt 2  = 12\)

Chu vi tam giác ABC là: \(AB + BC + AC = 4\sqrt 2  + 3\sqrt 2  + 5\sqrt 2  = 12\sqrt 2 \)

c) Tọa độ của trọng tâm G là \(\left( {\frac{{2 + ( – 2) + ( – 5)}}{3};\frac{{1 + 5 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ – 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)\)

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = ( – 3; – 3)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (a – 2;b – 1)\)

Vì BCAD là một hình bình hành  nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (a – 2;b – 1) = ( – 3; – 3)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – 2 =  – 3\\b – 1 =  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  – 1\\b =  – 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy D có tọa độ (-1; -2)

Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Phương pháp giải

a) Tọa độ của vectơ: \(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A})\)

b) Tìm \(k \ne 0\) sao cho: \(\overrightarrow {AB}  = k.\overrightarrow {CD} \)

c) Vectơ \(\overrightarrow u \,(a;b)\) và \(\overrightarrow v \,(x;y)\)\((x;y \ne 0)\) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}\) \((x;y \ne 0)\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = (3 – 1;4 – 2) = (2;2)\) và \(\overrightarrow {CD}  = (6 – ( – 1);5 – ( – 2)) = (7;7)\)

b) Dễ thấy: \((2;2) = \frac{2}{7}.(7;7)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD} \)

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.

c) Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = ( – 1 – 1; – 2 – 2) = ( – 2; – 4)\) và \(\overrightarrow {BE}  = (a – 3;1 – 4) = (a – 3; – 3)\)

Để \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương thì \(\frac{{a – 3}}{{ – 2}} = \frac{{ – 3}}{{ – 4}}\)\( \Leftrightarrow a – 3 =  – \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) hay \(E\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương 

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {BE}  = \left( {\frac{3}{2} – 3; – 3} \right) = \left( { – \frac{3}{2}; – 3} \right)\) ; \(\overrightarrow {AC}  = ( – 2; – 4)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Mà \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE} \) (quy tắc cộng)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Cách 2:

Giả sử \(\overrightarrow {AE}  = m\,.\,\overrightarrow {AB}  + n\,.\,\overrightarrow {AC} \)(*)

Ta có:  \(\overrightarrow {AE}  = \left( {\frac{1}{2}; – 1} \right)\), \(m\,.\,\overrightarrow {AB}  = m\left( {2;2} \right) = (2m;2m)\), \(n\,.\,\overrightarrow {AC}  = n( – 2; – 4) = ( – 2n; – 4n)\)

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; – 1} \right) = (2m;2m) + ( – 2n; – 4n)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; – 1} \right) = (2m – 2n;2m – 4n)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} = 2m – 2n\\ – 1 = 2m – 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Giải bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \). 

Phương pháp giải

Nhắc lại kiến thức: k\(\vec a\) cùng hướng với \(\vec a\)$\stackrel{}{}$ nếu k > 0.

Ta có: \(k = \frac{1}{{\left| {\vec a} \right|}} > 0\left( {\vec a \ne \vec 0} \right)\)

Do đó \(\frac{1}{{\left| {\vec a} \right|}}.\vec a\) cùng hướng với \(\vec a\) hay \(\frac{{\vec a}}{{\left| {\vec a} \right|}}\) cùng hướng với \(\vec a\)$\stackrel{}{}.$

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y).

Ta có: \(|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a \)

\( \Rightarrow \overrightarrow i  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)

\( \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}}  = 1\)

Mặt khác:

 \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a \) và \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0\) với mọi \(x,y \ne 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Cách 2:

Với mọi vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \), ta có:  \(|\overrightarrow a |\; > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0\). Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \;|k.\overrightarrow a |\; = \;|k|.|\overrightarrow a |\;\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {\,i} \,} \right| = k.|\overrightarrow a |\; = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\end{array}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \) và \(k > 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Giải bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow u \) với \(|\overrightarrow a |\; = \;\,|\overrightarrow b |\; = 1\) và \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \). Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b .\) Chứng minh rằng:

a) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

b) \(\overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \)

Phương pháp giải

a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \)

+) \(\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a = |\overrightarrow u| \,.\,|\overrightarrow a|. cos(overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a) \)

b) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ \((x\,;y)\) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ;\;\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u  = x\,.\,\overrightarrow i  + y.\,\overrightarrow j \)

Hướng dẫn giải

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ;\;\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow u \)

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha  = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).

+) Nếu \({0^o} < \alpha  < {90^o}\): \(x = OM = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha  = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha .\;|\overrightarrow a |\; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

 

+) Nếu \({90^o} < \alpha  < {180^o}\): \(x =  – OM = \; – |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} – \alpha ) = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha \; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

 

Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)

Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)

Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow i  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)

Giải bài 4.39 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng \(S{15^o}E\) với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Phương pháp giải

Định lí cosin trong tam giác OAC: \(A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} – 2.OA.OC.\cos \widehat {AOC}\)

Hướng dẫn giải

Lấy các điểm: A, C sao cho:

Vectơ vận tốc dòng nước\(\overrightarrow {{v_n}}  = \overrightarrow {OA} \)

Vectơ vận tốc chuyển động \(\overrightarrow {{v_{cano}}}  = \overrightarrow {OC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {{v_{cano}}}  = \overrightarrow {{v_n}}  + \overrightarrow v \), với \(\overrightarrow v \) là vectơ vận tốc riêng của cano.

Gọi B là điểm sao cho \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OB} \) thì OACB là hình bình hành.

 

Vì tàu chuyển động theo hướng \(S{15^o}E\) nên vectơ \(\overrightarrow {OC} \) tạo với hướng Nam (tia OS) góc \({15^o}\) và tạo với hướng Đông (tia OE) góc \({90^o} – {15^o} = {75^o}\).

Mà nước trên sông chảy về hướng đông nên vectơ \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {OE} \)

Do đó góc tạo bởi vectơ \(\overrightarrow {OC} \) và vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là \({75^o}\)

Xét tam giác OAC ta có:

\(OA = \;|\overrightarrow {{v_n}} |\; = 3\); \(OC = \;|\overrightarrow {{v_{cano}}} |\; = 20\) và \(\widehat {AOC} = {75^o}\)

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh O ta được:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} – 2.OA.OC.\cos \widehat {AOC}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {3^2} + {20^2} – 2.3.20.\cos {75^o} \approx 378\\ \Leftrightarrow OB = AC \approx 19,44\end{array}\)

Vậy vận tốc riêng của cano là 19,44 km/h