Giải bài tập Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối)

Giải bài tập Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối)
===============

Giải bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow a  = ( – 3;1),\;\overrightarrow b  = (2;6)\)

b) \(\overrightarrow a  = (3;1),\;\overrightarrow b  = (2;4)\)

c) \(\overrightarrow a  = ( – \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b  = (2; – \sqrt 2 )\)

Phương pháp giải

Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ( – 3).2 + 1.6 = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \) hay \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}\).

b)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}\)

c) Dễ thấy: \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương do \(\frac{{ – \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ – \sqrt 2 }}\)

Hơn nữa: \(\overrightarrow b  = \left( {2; – \sqrt 2 } \right) =  – \sqrt 2 .\left( { – \sqrt 2 ;1} \right) =  – \sqrt 2 .\overrightarrow a \;\); \( – \sqrt 2  < 0\)

Do đó: \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}\)

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+  \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}\): nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

+ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương: 

\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^o}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^o}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

Giải bài 4.22 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Tìm điều kiện của \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) để:

a) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

b) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  =  – \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

Phương pháp giải

Tích vô hướng \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)

Hướng dẫn giải

a) 

Ta có: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}\)

Nói cách khác: \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng hướng.

b)

Ta có: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =- \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =  – 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}\)

Nói cách khác: \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) ngược hướng.

Giải bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} \) theo t.

b) Tính t để \(\widehat {AMB} = {90^o}\)

Phương pháp giải

+) Nếu vecto \(\overrightarrow {AM} (x;y)\) và \(\overrightarrow {BM} (a;b)\) thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = xa + yb\)

+) \(\widehat {AMB} = {90^o} \Leftrightarrow AM \bot BM\)

Hướng dẫn giải

 

a) 

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = (t – 1; – 2),\;\overrightarrow {BM} = (t + 4; – 3)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = (t – 1)(t + 4) + ( – 2)( – 3)\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad= {t^2} + 3t + 2.
\end{array}\)

b)

Để \(\widehat {AMB} = {90^o}\) hay \(AM \bot BM\) thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  – 1\\t =  – 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì \(\widehat {AMB} = {90^o}\)

Giải bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải

a) Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} (x;y)\) là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

b) Chỉ ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \) từ đó tìm tọa độ của H.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = (2 – ( – 4);4 – 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC}  = (2 – 2; – 2 – 4) = (0; – 6)\\\overrightarrow {AC}  = (2 – ( – 4); – 2 – 1) = (6; – 3)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( – 6)}^2}}  = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( – 3)}^2}}  = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} – {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} – {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}\)

\( \Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}\)

Vậy tam giác ABC có: \(a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 \); \(\widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.\)

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = (x – ( – 4);y – 1) = (x + 4;y – 1)\\\overrightarrow {BH}  = (x – 2;y – 4)\end{array} \right.\)

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow AH \bot BC\) và \(BH \bot AC\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

Do đó \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \).

Mà:  \(\overrightarrow {BC}  = (0; – 6)\)

\( \Rightarrow (x + 4).0 + (y – 1).( – 6) = 0 \Leftrightarrow  – 6.(y – 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.\)

Và \(\overrightarrow {AC}  = (6; – 3)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (x – 2).6 + (y – 4).( – 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x – 12 + ( – 3).( – 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x – 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy H có tọa độ \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)

Giải bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\)

Phương pháp giải

Biến đổi vế trái, đưa về công thức \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}bc.\sin A\)

+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

+) \({\sin ^2}\alpha  = 1 – {\cos ^2}\alpha \) với mọi \(\alpha \).

Hướng dẫn giải

Đặt \(A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} – {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 – {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}\)

Mà \(1 – {\cos ^2}A = {\sin ^2}A\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A} \)

\( \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A\) (Vì \({0^o} < \widehat A < {180^o}\) nên \(\sin A > 0\))

Do đó \(A = {S_{ABC}}\) hay \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\) (đpcm)

Giải bài 4.26 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

Phương pháp giải

+) \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}\)

+) Với 3 điểm M, A, G bất kì ta có: \(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {MA} \)

+) G là trọng tâm tam giác ABC thì: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Hướng dẫn giải

Ta có:

 \(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA}  + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB}  + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC}  + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0  + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\end{array}\)

( do G là trọng tâm tam giác ABC)

\(\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\end{array}\) (đpcm).