Giải bài tập Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (Kết nối)

Giải bài tập Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (Kết nối)

---

 

Giải bài 4.16 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Phương pháp giải

Độ dài vectơ \(\overrightarrow {OM} (x,y)\) là \(|\overrightarrow {OM} |\; = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} (1;3),\;\,\overrightarrow {ON} (4;2),\;\overrightarrow {MN}  = (4 – 1;2 – 3) = (3; – 1)\)

\( \Rightarrow OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,\)\(ON = \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 ,\)\(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \)

b) Dễ thấy: \(OM = \sqrt {10}  = MN\)\( \Rightarrow \Delta OMN\) cân tại M.

Lại có: \(O{M^2} + M{N^2} = 10 + 10 = 20 = O{N^2}\)

\( \Rightarrow \) Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta OMN\)vuông tại M.

Vậy \(\Delta OMN\) vuông cân tại M.

Giải bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ \(\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  – 2.\overrightarrow j ,\)\(\overrightarrow b  = \left( {4; – 1} \right)\) và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(2\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b \).

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Phương pháp giải

b) Các điểm O, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) cùng phương

c) OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN} \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow b  = \left( {4; – 1} \right)\) và \(\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  – 2.\overrightarrow j \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow a \;\left( {3; – 2} \right)\)

\( \Rightarrow 2\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \left( {2.3 – 4\;;\;2.\left( { – 2} \right) – \left( { – 1} \right)} \right) = \left( {2; – 3} \right)\)

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {3 – \left( { – 3} \right); – 3 – 6} \right) = \left( {6; – 9} \right)\)

Dễ thấy:\(\left( {6; – 9} \right) = 3.\left( {2; – 3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = 3\left( {2\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b } \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = \left( { – 3;6} \right)\) ( do M(-3; 6)) và \(\overrightarrow {ON}  = \left( {3; – 3} \right)\) (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{{ – 3}}{3} \ne \frac{6}{{ – 3}}\)).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN} \).

 

Do \(\overrightarrow {OM}  = \left( { – 3;6} \right),\;\overrightarrow {PN}  = \left( {3 – x; – 3 – y} \right)\)  nên

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3 = 3 – x\\6 =  – 3 – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  – 9\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Giải bài 4.18 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Phương pháp giải

a) Các điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \) cùng phương

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì \(\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)\)

Hướng dẫn giải

a)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 – 1;4 – 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC}  = \left( { – 3 – 1;2 – 3} \right) = \left( { – 4; – 1} \right)\)

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{1}{{ – 4}} \ne \frac{1}{{ – 1}}\)).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { – 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)\)

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì \(\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 3\\y =  – 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Giải bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {3;4} \right)\). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Phương pháp giải

Lập luận chỉ ra \(\overrightarrow {AB}  = 1,5.\overrightarrow v \)

Hướng dẫn giải

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {3;4} \right)\) nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng \(\left| {\overrightarrow v } \right|\).

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: \(\overrightarrow {AB}  = 1,5.\overrightarrow v \)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x – 1;y – 2) = 1,5\;.\left( {3;4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 4,5\\y – 2 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5,5\\y = 8\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy sau 1,5 tàu ở vị trí (trên mặt phẳng tọa độ) là B(5,5; 8).

Giải bài 4.20 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1; 2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Phương pháp giải

+) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật dài 3 ô, rộng 2 ô.

Bước 1: Đánh dấu các vị trí trên bàn cờ mà quân mã có thể đi ở nước cờ tiếp theo.

Bước 2: Chiếu vuông góc xuống các trục Ox, Oy để xác định tọa độ.

Hướng dẫn giải

a) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô.

Do đó, từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E, F như dưới đây:

A có tọa độ (3; 3)

B có tọa độ (3; 1)

C có tọa độ (2; 0)

D có tọa độ (0; 0)

E có tọa độ (0; 4)

F có tọa độ (2; 4)

Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí A(3;3), B(3;1), C(2;0), D(0;0), E(0;4), F(2;4).