Giải bài tập Bài 22: Ba đường conic (Kết nối)

Giải bài tập Bài 22: Ba đường conic (Kết nối)
—————-

Giải bài 7.19 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Cho elip có phương trình: \(\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Giải bài 7.19 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Cho elip có phương trình: \(\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {{a^2} – {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} – {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Lời giải chi tiết

Ta có: a² = 36, b² = 9, c = \(\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{27}\).

Tiêu điểm F₁(\(-\sqrt{27}\);0) và F₂(\(\sqrt{27}\);0).

Tiêu cự 2c = \(2\sqrt{27}\).

Giải bài 7.20 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Cho hypebol có phương trình: \(\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Giải bài 7.20 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Cho hypebol có phương trình: \(\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a,b > 0\).

Với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Lời giải chi tiết

Ta có: a² = 7, b² = 9, c = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=4\).

Tiêu điểm F₁(-4;0) và F₂(4;0).

Tiêu cự 2c = 8

Giải bài 7.21 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Cho parabol có phương trình: \({y^2} = 8x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Giải bài 7.21 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Cho parabol có phương trình: \({y^2} = 8x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0)

Với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta 😡 =  – \frac{p}{2}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: 2p = 8 nên p = 4.

Tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn \(\Delta \): x = -2.

Giải bài 7.22 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2(3; 0).

Giải bài 7.22 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2(3; 0).

Phương pháp giải

Phương trình Elip (E) có dạng: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

+ (E) đi qua A(5; 0) thay toạ độ A vào (E) => a

+ (E) có tiêu điểm F₂(3; 0) => b

Lời giải chi tiết

Elip (E) có dạng: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) với a>b>0.

+ (E) đi qua A(5; 0) nên \(\frac{5^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}}=1\)

=> a = 5.

+ (E) có tiêu điểm F₂(3; 0) nên c = 3

=> b = \(\sqrt{a^{2}-c^{2}}=4\)

Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)

Giải bài 7.23 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).

Giải bài 7.23 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0)

Với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta 😡 =  – \frac{p}{2}\).

Lời giải chi tiết

Phương trình parabol (P) có dạng: y² = 2px.

(P) đi qua M(2; 4) nên 4² = 2p.2

=> 2p =8

Vậy phương trình (P): y² = 8x.

Giải bài 7.24 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Giải bài 7.24 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a,b > 0\).

Với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB. Nên tọa độ hai điểm là: A(-150; 0) và B(150; 0)

Khi đó vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.

Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên ta có: |MA – MB| = 0,0005.292 000 = 146 km.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol có dạng: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) với a, b > 0.

Do |MA – MB| = 146 = 2a <=> a = 73.

Do hai tiêu điểm là: A(-150; 0) và B(150; 0) nên c = 150

=> b = \(\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{17171}\)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: \(\frac{x^{2}}{5329}-\frac{y^{2}}{17171}=1\)

Giải bài 7.25 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol (P) của khúc của cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B.

a) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.

Giải bài 7.25 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol (P) của khúc của cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B.

a) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0)

Với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta 😡 =  – \frac{p}{2}\).

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ O(0; 0) (như hình vẽ).

a) Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế thì tọa độ các điềm là: A(20; -200) và B(20; 200) thuộc vào parabol có dạng y² = 2px

Thay tọa độ điểm A và ta có: 200² = 2p.20 => 2p = 2000

Vậy parabol có dạng: y² = 2000.x

b) Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế thì tọa độ các điềm là: A(0,02; -0,2) và B(0,02; 0,2) thuộc vào parabol có dạng y² = 2px

Thay tọa độ điểm A và ta có: 0,2² = 2p.0,02 => 2p = 2

Vậy parabol có dạng: y² = 2.x