Giải bài tập Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Kết nối)

Giải bài tập Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Kết nối)
—————–

Giải bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(\Delta _{1}:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\) và \(\Delta _{2}: 6x+2y-\sqrt{6}=0\)

b) \(d _{1}: x-\sqrt{3}y+2=0\) và \(d _{2}: \sqrt{3}x-3y+2=0\)

c) \(m _{1}: x-2y+1=0\) và \(m _{2}: 3x+y-2=0\)

Giải bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(\Delta _{1}:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\) và \(\Delta _{2}: 6x+2y-\sqrt{6}=0\)

b) \(d _{1}: x-\sqrt{3}y+2=0\) và \(d _{2}: \sqrt{3}x-3y+2=0\)

c) \(m _{1}: x-2y+1=0\) và \(m _{2}: 3x+y-2=0\)

Phương pháp giải

Dựa vào các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) hoặc các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) của \(\overrightarrow {{\Delta _1}} ,\overrightarrow {{\Delta _2}} \) ta có:

+ \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) song song hoặc trùng nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.

+ \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) cắt nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương.

Lời giải chi tiết

a) \(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{1}}(3\sqrt{2};\sqrt{2})\)

\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{2}}(6; 2)\)

Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) cùng phương, nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) song song hoặc trùng nhau.

Ta có: \(3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\) \(\Leftrightarrow \) \(3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\)

Vậy  \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) trùng nhau.

b) Ta có: \(x-\sqrt{3}y+2=0\) \(\Leftrightarrow \) \(\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}=0\)

Mà \(\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3} \neq \sqrt{3}x-3y+2\) nên \(d _{1}\) và \(d _{2}\) song song.

c) \(m _{1}\) có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n_{1}}(1;-2)\)

\(m _{2}\) có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n_{2}}(3;1)\)

Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương, nên \(d _{1}\) và \(d _{2}\) cắt nhau.

Giải bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(\Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0\) và \(\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0\)

b) \(d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right.\) và \(d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.\) (t, s là các tham số)

Giải bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(\Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0\) và \(\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0\)

b) \(d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right.\) và \(d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.\) (t, s là các tham số)

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng

\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).

Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức

\(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{1}}(\sqrt{3}; 1)\)

\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2}}(1; \sqrt{3})\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\), ta có:

\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{1^{2}+3}.\sqrt{3+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi =30^{o}\).

b)

\(d _{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2; 4)\)

\(d _{2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1; -3)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d _{1}\) và \(d _{2}\), ta có:

\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|2.1-3.4|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi \approx 26,6^{o}\).

Giải bài 7.9 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng \(\Delta \): x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta \)

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với \(\Delta \).

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với \(\Delta \).

Giải bài 7.9 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng \(\Delta \): x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta \)

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với \(\Delta \).

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với \(\Delta \).

Phương pháp giải

a) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

b) Phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\)

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta\) là: \(d_{(A;\Delta )}=\frac{|0-2+4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}\)

b) đường thẳng a  song song với \(\Delta\) nên đường thẳng a có dạng: x + y + c = 0.

Do a đi qua M nên: -1 + 0 + c = 0, suy ra c = 1.

Vậy phương trình đường thẳng a: x + y + 1 = 0.

c) Đường thẳng b vuông góc với \(\Delta\) nên đường thẳng b có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của đường thẳng b: \(\overrightarrow{u}(1; 1)\)

Phương trình tham số của đường thẳng b là: \(\left\{\begin{matrix}x=t\\ y=3+t\end{matrix}\right.\)

Giải bài 7.10 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Giải bài 7.10 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải

a)

+ Viết phương trình đường thẳng BC

+ Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

b)

+ Tính độ dài đoạn BC

+ Tính diện tích tam giác ABC là: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}d_{(A;BC)}.BC\)

Lời giải chi tiết

a)

+ Viết phương trình đường thẳng BC: có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{BC}(-5;-3)\) và đi qua B(3; 2).

=> Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(3; -5)\)

Phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0, Hay 3x – 5y +1 = 0

+ Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Áp dụng công thức khoảng cách có: \(d_{(A; BC)}=\frac{|3.1-5.0+1|}{\sqrt{3^{2}+5^{2}}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}\)

b)

+ Độ dài đoạn BC là: \(BC = \sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}\)

+ Diện tích tam giác ABC là: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}d_{(A;BC)}.BC=\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{34}}{17}.\sqrt{34}=2\)

Giải bài 7.11 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a \(\neq \) 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ \(\neq \) 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa’ = -1.

Giải bài 7.11 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a \(\neq \) 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ \(\neq \) 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa’ = -1.

Phương pháp giải

+) Giả sử đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau, ta chứng minh aa’ = -1.

+) Giả sử a.a’ = -1, ta chứng minh đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

+) Giả sử đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau, ta chứng minh aa’ = -1. Thật vậy,

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n}(a; -1)\)

Đường thẳng d’ có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow{n’}(a’; -1)\)

Do đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n’}=0\)

Suy ra: a.a’ + (-1).(-1) = 0, hay a.a’ = -1.

+) Giả sử a.a’ = -1, ta chứng minh đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau. Thật vậy,

Xét tích vô hướng: \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n’}= a.a’ + (-1).(-1) = -1 + 1 = 0\)

=> \(\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n’}\)

Vậy đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.

Giải bài 7.12 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Giải bài 7.12 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Phương pháp giải

Ta có: \(IO=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}\),

\(IA= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-0)^{2}}\),

\(IB= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}\)

Vì IO = IA = IB, nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{(x – 0)}^2} + {{(y – 0)}^2} = {{(x – 1)}^2} + {{(y – 0)}^2}}\\
{{{(x – 1)}^2} + {{(y – 0)}^2} = {{(x – 1)}^2} + {{(y – 3)}^2}}
\end{array}} \right.\)

Giải hệ tìm được giá trị x, y là điểm cầm tìm

Lời giải chi tiết

Gọi điểm phát tín hiệu là I(x; y).

Do vị trí I đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại O, A, B nhận được cùng một thời điểm nên: IO = IA = IB.

Ta có: \(IO=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}\),

\(IA= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-0)^{2}}\),

\(IB= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}\)

Vì IO = IA = IB, nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-1)^{2}+(y-0)^{2}\\ (x-1)^{2}+(y-0)^{2}=(x-1)^{2}+(y-3)^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2x+1=0\\ -6y +9 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm cần tìm là \(I(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\)