Đề: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tìm bán kính R của mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện.

Gọi H là tâm tam giác đều BCD.

E là trung điểm của CD.

Ta có:  \(AH \bot (BCD)\)

Gọi I là tâm mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao điểm của AH và phân giác góc \(\widehat {AEB}\) của tam giác AEB.

\(\begin{array}{l} AE = BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ HE = \frac{{BE}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\ AH = \sqrt {A{E^2} – H{E^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}\)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{EH}}{{EA}} \Rightarrow \frac{{IH}}{{IH + IA}} = \frac{{EH}}{{EH + EA}}\\ \Rightarrow IH = \frac{{EH.AH}}{{EH + EA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} \end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu là:  \(r = IH = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\)