Đề:  Cho họ đường cong  \(y = \frac{{ – {x^2} + mx – {m^2}}}{{x – m}}\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị đường cong khi $m = 1$$2$. Tìm $m$ để đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) có điểm cực đại và cực tiểu$3$. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho có đúng hai đường của họ \(\left( {{C_m}} \right)\) đi qua.

Đề bài:  Cho họ đường cong  \(y = \frac{{ – {x^2} + mx – {m^2}}}{{x – m}}\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị đường cong khi $m = 1$$2$. Tìm $m$ để đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) có điểm cực đại và cực tiểu$3$. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho có đúng hai đường của họ \(\left( {{C_m}} \right)\) đi qua.

Lời giải

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. \(y’ = \frac{{ – {x^2} + 2mx}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}\) , hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu\( \Leftrightarrow y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow  – {x^2} + 2mx = 0\)có hai nghiệm phân biệt \( \ne m \Leftrightarrow m \ne 0\)

$3$.  Xem \(y = \frac{{ – {x^2} + mx – {m^2}}}{{x – m}}\left( 1 \right)\) là phương trình ẩn $m$
Với điều kiện \(m \ne x\) ta có:\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} – \left( {x + y} \right)m + {\rm{yx}} + {x^2} = 0\left( 2 \right)\)
\(\left( 1 \right)\) sẽ có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = \left( {x + y} \right)\left( {y – 3x} \right) > 0\\
m = 0 \text { không thỏa mãn }  \left( 2 \right) \Rightarrow x \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y > 3x;y x > 0
\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
y >  – x;y x \end{array} \right.\)
Vậy các điểm cần tìm là các điểm nằm trong góc tù tạo bởi hai đường thẳng \(y = 3x;y =  – x\)