Câu hỏi:
Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x + y = 2\left( {\sqrt {x – 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy.\)
- A. \(\min P = – 83\)
- B. \(\min P = – 63\)
- C.\(\min P = – 80\)
- D.\(\min P = -91\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Ta có \(x + y = 2\left( {\sqrt {x – 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 4\left( {x + y} \right) + 8\sqrt {x – 3} .\sqrt {y + 3} \ge 4\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y \ge 4}\\ {x + y \le 0} \end{array}} \right.\)
Mặt khác \(x + y = 2\left( {\sqrt {x – 3} + \sqrt {y + 3} } \right) \le 2\sqrt {2\left( {x + y} \right)} \Leftrightarrow x + y \le 8 \Rightarrow x + y \in \left[ {4;8} \right]\)
Xét biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 7xy\)
Đặt \(t = x + y \in \left[ {4;8} \right] \Rightarrow P = 4{t^2} + 7xy\).
Lại có:
\(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge – 3\left( {x + y} \right) – 9\\ \Rightarrow P \ge 4{\left( {x + y} \right)^2} – 21\left( {x + y} \right) – 63 = 4{t^2} – 21t – 63 \end{array}$\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} – 21t – 63\) trên đoạn [4;8] suy ra \({P_{\min }} = f\left( 7 \right) = – 83\)
=====
Mời các bạn xem lại Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trả lời