Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Số giá trị nguyên $m$ để phương trình $f(x)=m+5$ có 3 nghiệm?

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Số giá trị nguyên $m$ để phương trình $f(x)=m+5$ có 3 nghiệm?

A. $5$.B. $0$.C. $4$.D. $3$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là xét sự tương giao giữa đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng ngang $y=k$ (trong đó $k$ là biểu thức chứa tham số $m$), dựa trên bảng biến thiên (BBT) hoặc đồ thị của hàm số. Phương pháp giải là sử dụng điều kiện để phương trình $f(x)=k$ có số nghiệm xác định (ở đây là 3 nghiệm). Đối với hàm bậc ba hoặc hàm có hai điểm cực trị (như BBT điển hình), phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi giá trị của $k$ nằm строго giữa giá trị cực đại ($y_{CĐ}$) và giá trị cực tiểu ($y_{CT}$), tức là $y_{CT} < k < y_{CĐ}$. Sau đó, ta thay biểu thức của $k$ (là $m+5$) vào điều kiện này để tìm miền giá trị của $m$ và đếm số giá trị nguyên.

Bài toán tương tự

1. **Bài toán 1:** Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với giá trị cực đại là $y_{max}=5$ và giá trị cực tiểu là $y_{min}=1$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt?
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
Đáp án đúng: C. Giải thích: Phương trình có 3 nghiệm khi $1 < m < 5$. Các giá trị nguyên $m$ là $2, 3, 4$. Có 3 giá trị. 2. **Bài toán 2:** Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với giá trị cực đại là $y_{max}=4$ và giá trị cực tiểu là $y_{min}=0$. Số giá trị nguyên $m$ để phương trình $f(x)=2m-1$ có 3 nghiệm phân biệt là:
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Đáp án đúng: B. Giải thích: Phương trình có 3 nghiệm khi $0 < 2m-1 < 4$. Giải bất phương trình ta được $1 < 2m < 5$, hay $0.5 < m < 2.5$. Các giá trị nguyên $m$ là $1, 2$. Có 2 giá trị. 3. **Bài toán 3:** Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với giá trị cực đại là $y_{max}=7$ và giá trị cực tiểu là $y_{min}=2$. Số giá trị nguyên $m$ để phương trình $f(x)=m-3$ có đúng 2 nghiệm phân biệt là:
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Đáp án đúng: A. Giải thích: Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt khi $m-3$ bằng giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Trường hợp 1: $m-3 = 7 Rightarrow m = 10$. Trường hợp 2: $m-3 = 2 Rightarrow m = 5$. Có 2 giá trị nguyên $m$: $5$ và $10$.

4. **Bài toán 4:** Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với giá trị cực đại là $y_{max}=6$ và giá trị cực tiểu là $y_{min}=-2$. Số giá trị nguyên dương $m$ để phương trình $f(x)=rac{m}{2}$ có 3 nghiệm phân biệt là:
A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Đáp án đúng: C. Giải thích: Phương trình có 3 nghiệm khi $-2 < rac{m}{2} < 6$. Nhân 2 vào các vế: $-4 < m < 12$. Vì $m$ là số nguyên dương, $m in \{1, 2, 3, dots, 11\}$. Có $11$ giá trị nguyên dương. 5. **Bài toán 5:** Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với giá trị cực đại là $y_{max}=8$ và giá trị cực tiểu là $y_{min}=3$. Số giá trị nguyên $m$ để phương trình $f(x)=|m+1|$ có 3 nghiệm phân biệt là:
A. 6. B. 7. C. 9. D. 8.
Đáp án đúng: D. Giải thích: Phương trình có 3 nghiệm khi $3 < |m+1| < 8$. Ta xét hai trường hợp: TH1: $m+1 > 0$. $3 < m+1 < 8 Rightarrow 2 < m < 7$. $m in \{3, 4, 5, 6\}$ (4 giá trị). TH2: $m+1 < 0$. $3 < -(m+1) < 8 Rightarrow -8 < m+1 < -3 Rightarrow -9 < m < -4$. $m in \{-8, -7, -6, -5\}$ (4 giá trị). Tổng cộng có $4+4=8$ giá trị nguyên $m$.