Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x\). Có bao nhiêu giá trị \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(\left| {f\left( {1 + \sin \,x} \right) + m} \right|\) bằng 5?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} – 2x\). Có bao nhiêu giá trị \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(\left| {f\left( {1 + \sin \,x} \right) + m} \right|\) bằng 5?

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(t = 1 + \sin \,x\). Suy ra \(t \in \left[ {0;2} \right]\). Ta có:

\(\left| {f\left( {1 + \sin \,x} \right) + m} \right|\)\( = \left| {f\left( t \right) + m} \right|\)\( = \left| {{t^2} – 2t + m} \right|\).

Đặt \(u = {t^2} – 2t\). Với \(t \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(u \in \left[ { – 1;0} \right]\). Khi đó \(\left| {{t^2} – 2t + m} \right|\)\( = \left| {u + m} \right|\).

Suy ra

\(\mathop {max}\limits_\mathbb{R} \left| {f\left( {1 + \sin \,x} \right) + m} \right|\)\( = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( t \right) + m} \right|\)\( = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {{t^2} – 2t + m} \right|\)\( = \mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} \left| {u + m} \right|\)\( = \mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} \left\{ {\left| { – 1 + m} \right|;\left| m \right|} \right\}\).

Vậy \(\mathop {max}\limits_\mathbb{R} \left| {f\left( {1 + \sin \,x} \right) + m} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| { – 1 + m} \right| = 5\\\left| m \right| = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = – 4\\m = 5\\m = – 5\end{array} \right.\).

Thử lại ta thấy với \(m = – 4\) hoặc \(m = 5\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số