Cho đa giác đều \((H)\) có \(n\) đỉnh \((n \ge 8)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các tứ giác có bốn đỉnh là bốn trong \(n\) đỉnh của đa giác \((H)\)và bốn cạnh đều là đường chéo của đa giác \((H)\). Tìm \(n\) biết số phần tử của tập \(S\) là 25.

Cho đa giác đều \((H)\) có \(n\) đỉnh \((n \ge 8)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các tứ giác có bốn đỉnh là bốn trong \(n\) đỉnh của đa giác \((H)\)và bốn cạnh đều là đường chéo của đa giác \((H)\). Tìm \(n\) biết số phần tử của tập \(S\) là 25.

Lời giải

Gọi \(ABCD\) là tứ giác thỏa mãn đề bài.

+ Chọn một đỉnh trong \(n\) đỉnh cho \(A\), có \(n\) cách chọn.

Đánh số các đỉnh của đa giác \((H)\) theo thứ tự từ 1 đến \(n\) (đỉnh vừa chọn đánh số 1).

+ Chọn vị trí trong các đỉnh còn lại cho \(B\), \(C\), \(D\).

Giả sử \(b\), \(c\), \(d\) lần lượt là số thứ tự mà các đỉnh \(B\), \(C\), \(D\) được chọn \((b < c < d)\). Vì tứ giác có bốn cạnh là đường chéo nên không được chọn hai đỉnh liên tiếp của đa giác. Do đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 \le b < c < d \le n – 1\\b + 1 < c\\c + 1 < d\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le b + 2 < c + 1 < d \le n – 1\).

Vậy có \(C_{n – 5}^3\) cách chọn ba đỉnh còn lại.

Nhưng mỗi tứ giác thành lập như thế được lặp lại 4 lần nên số tứ giác thỏa mãn đề bài là \(\frac{{n.C_{n – 5}^3}}{4}\).

Theo giả thiết, ta có: \(\frac{{n.C_{n – 5}^3}}{4} = 25 \Leftrightarrow n(n – 5)(n – 6)(n – 7) = 600{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{n  = 10}}\).

Vậy \(n = 10\)