[Bayes] Trong một đợt nghiên cứu tỷ lệ ung thư do hút thuốc lá gây nên, người ta thấy rằng tại tỉnh Hà Nam tỉ lệ người dân của tỉnh nghiện thuốc lá là 20%; tỉ lệ người bị bệnh ung thư trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%

Trong một đợt nghiên cứu tỷ lệ ung thư do hút thuốc lá gây nên, người ta thấy rằng tại tỉnh Hà Nam tỉ lệ người dân của tỉnh nghiện thuốc lá là 20%; tỉ lệ người bị bệnh ung thư trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%. Hỏi khi gặp một người bị bệnh ung thư tại tỉnh này thì xác suất người đó nghiện thuốc lá là bao nhiêu ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,54

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra $\widehat{A}$ là biến cố “người không nghiện thuốc lá”
Gọi $B$ là biến cố “người bị bệnh ung thư”
Theo giả thiết ta có: $P\left(A\right) = 0,2\Rightarrow P\left(\widehat{A}\right) = 0,8; P\left(B|A\right) = 0,7; P\left(B|\widehat{A}\right) = 0,15$
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
$P\left(B\right) = P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B|\widehat{A}\right) = 0,2.0,7+ 0,8.0,15 = 0,26$
Xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh ung thư là $P\left(A|B\right)$
Theo công thức Bayes, ta có: $P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{0,2.0,7}{0,26} = \dfrac{7}{13}\approx 0,54$.
Như vậy khi gặp một người bị bệnh ung thư tại tỉnh này thì xác suất (làm tròn đến hàng phần trăm) người đó nghiện thuốc lá là $0,54$.