[Bayes] Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\%$ và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\%$ và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên $1$ người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó mắc bệnh X là bao nhiêu ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,3

Lời giải: Xét các biến cố :
$A:$ “Người được chọn mắc bệnh X”;
$B:$ “Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y”.
Khi đó, $P\left(A\right) = 0,002 ; P\left(\overline{A}\right) = 1- 0,002 = 0,998;P\left(B|A\right) = 1; P\left(B|\overline{A}\right) = 0,06.$
Theo công thức Bayes, ta có: $P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)} = \dfrac{0,002.1}{0,06188}\approx 0,03.$