[Bayes] Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với $90\%$ các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với $80\%$ các trường hợp thực sự không nhiễm virus

Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với $90\%$ các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với $80\%$ các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là $1\%$. Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng $\dfrac{a}{b}$ (Phân số tối giản). Giá trị của $a+ b$ bằng bao nhiêu?
Đáp án: 24

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố “Người đó bị nhiễm Virus”; $B$ là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”.
Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với $90\%$ các trường hợp thực sự nhiễm virus $P\left(B|A\right) = 0,9$.
Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả âm tính với $80\%$ các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với $20\%$ các trường hợp không thực sự nhiễm virus $P\left(B|\widehat{A}\right) = 0,2$
$P\left(A\right) = 0,01\Rightarrow P\left(\widehat{A}\right) = 0,99$
Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là:
$P\left(B\right) = P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B|\widehat{A}\right) = 0,01.0,9+ 0,99.0,2 = 0,207$
Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{0,01.0,9}{0,207} = \dfrac{1}{23}$
Vậy $a = 1,b = 23\Rightarrow a+ b = 24$.