[Bayes] Một thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ là $0,5\%$

Một thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ là $0,5\%$. Bà $N$ đi xét nghiệm bệnh hiếm nghèo $Y$ và nhận được kết quả là âm tính. Biết rằng, nếu mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ thì với xác suất $0,94$ xét nghiệm là dương tính; nếu không bị bệnh hiếm nghèo $Y$ thì với xác suất $0,97$ xét nghiệm là âm tính. Gọi $A$ là biến cố: “Bà $N$ bị bệnh hiếm nghèo $Y$”; $B$ là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm xác suất không mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ của bà $N$ là 0,992.

*b) $P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,97$.

c) $P(\overline{B}|A) = 1 – 0,94 = 0,05$.

d) Sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ của bà $N$ là $99,95\%$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố: “Bà $N$ bị bệnh hiếm nghèo $Y$”; $B$ là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.
Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ của bà $N$ là
$P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – 0,005 = 0,995$.
Ta cần tính $P(\overline{A}|\overline{B})$.
Theo công thức Bayes ta có
$P(\overline{A}|\overline{B}) = \dfrac{P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A})}{P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A}) + P(A) \cdot P(\overline{B}|A)}$.
$P(\overline{B}|\overline{A})$ là xác suất để bà $N$ có xét nghiệm là âm tính nếu bà $N$ không bị bệnh $Y$.
Theo bài ra ta có:
$P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,97$;
$P(\overline{B}|A)$ là xác suất để bà $N$ có xét nghiệm là âm tính nếu bà $N$ bị bệnh $Y$;
$P(\overline{B}|A) = 1 – 0,94 = 0,06$.
Thay vào công thức Bayes ta có
$P(\overline{A}|\overline{B}) = \dfrac{0,995 \cdot 0,97}{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06} \approx 0,9997$.
Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh $Y$ của bà $N$ tăng lên thành $99,97\%$ (trước xét nghiệm là $99,5\%$).
(Sai) Trước khi tiến hành xét nghiệm xác suất không mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ của bà $N$ là 0,992.
(Đúng) $P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,97$.
(Sai) $P(\overline{B}|A) = 1 – 0,94 = 0,05$.
(Sai) Sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh hiếm nghèo $Y$ của bà $N$ là $99,95\%$ (làm tròn đến hàng phần trăm).