[Bayes] Một công ty nghiên cứu thị trường muốn đánh giá mức độ quan tâm của khách hàng đối với một mẫu sản phẩm mới

Một công ty nghiên cứu thị trường muốn đánh giá mức độ quan tâm của khách hàng đối với một mẫu sản phẩm mới. Họ thực hiện một cuộc khảo sát trên $300$ người và nhận được kết quả như sau: $120$ người trả lời ” thích” và $180$ người trả lời ” không thích”. Theo kinh nghiệm trước đây, tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm trong số những người trả lời ” thích” là $80\%$, còn trong số những người trả lời ” không thích” là $25\%$. Gọi $A$ là biến cố ” Người được phỏng vấn thực sự mua sản phẩm” và $B$ là biến cố ” Người được phỏng vấn trả lời ” thích””.

a) $\mathrm{P}(B) = \dfrac{2}{5}$ và $\mathrm{P}(\overline{B}) = \dfrac{1}{5}$.

*b) $\mathrm{P}(A\mid B)=0,8$.

c) $\mathrm{P}(A)=0,5$.

d) Trong số những người thực sự mua sản phẩm, có dưới $50\%$ đã trả lời ” thích”.

Lời giải:
(Sai) $\mathrm{P}(B) = \dfrac{2}{5}$ và $\mathrm{P}(\overline{B}) = \dfrac{1}{5}$
(Vì): Số người trả lời ” thích” là $120$, tổng số người là $300$. Vậy $\mathrm{P}(B) = \dfrac{120}{300} = \dfrac{2}{5}$.
Số người trả lời ” không thích” là $180$, tổng số người là $300$. Vậy $\mathrm{P}(\overline{B}) = \dfrac{180}{300} = \dfrac{3}{5}$.
(Đúng) $\mathrm{P}(A\mid B)=0,8$
(Vì): $\mathrm{P}(A\mid B)$ là xác suất người đó thực sự mua sản phẩm, biết rằng họ đã trả lời ” thích”.
Theo đề bài, tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm trong số những người trả lời ” thích” là $80\%$, tức là $0{,}8$.
(Sai) $\mathrm{P}(A)=0,5$
(Vì): $\mathrm{P}(A)$ là xác suất người đó thực sự mua sản phẩm, không phân biệt câu trả lời của họ.
Ta sử dụng công thức xác suất toàn phần
$\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\mid B)\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A\mid \overline{B})\mathrm{P}(\overline{B})=0{,}8\cdot \dfrac{2}{5}+0{,}25\cdot \dfrac{3}{5}=0{,}32+0{,}15=0{,}47.$
(Sai) Trong số những người thực sự mua sản phẩm, có dưới $50\%$ đã trả lời ” thích”
(Vì): Số người trả lời ” thích” và thực sự mua là $0{,}8\cdot 120=96$.
Số người trả lời ” không thích” và thực sự mua là $0{,}25\cdot 180=45$.
Tổng số người thực sự mua là $96 + 45 = 141$.
Tỷ lệ phần trăm những người trả lời ” thích” trong số những người thực sự mua là $\dfrac{96}{141}\cdot 100\%\approx 68{,}09\%$.