[Bayes] Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất $0,95$ và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất $0,01$. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố: “Thư được chọn là thư rác”; $B$ là biến cố: “Thư được chọn là bị chặn”.
Ta có $P\left(A\right) = 3\% = 0,03$ ;
$P\left(\overline{A}\right) = 1- P\left(A\right) = 1- 0,03 = 0,97$ ; $P\left(B|A\right) = 0,95;​ P\left(B|\overline{A}\right) = 0,01$.
Công thức Bayes, ta có:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)} = \dfrac{0,03.0,95}{0,03.0,95+ 0,97.0,01}\approx 0,746$.