[Bayes] Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là 20%; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%

Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là 20%; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%. Khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh X, xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là

*A. $\dfrac{7}{13}$.

B. $\dfrac{9}{13}$.

C. $\dfrac{6}{13}$.

D. $\dfrac{4}{13}$.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố “người đó nghiện thuốc lá”; $\widehat{A}$ là biến cố “người đó không nghiện thuốc lá”; $B$ là biến cố “người đó bị bệnh phổi”. Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.
Ta có $P\left(A\right) = 0,2; P\left(B|A\right) = 0,7; P\left(\widehat{A}\right) = 0,8; P\left(B|\widehat{A}\right) = 0,15$.
$P\left(B\right) = P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B|\widehat{A}\right) = 0,2.0,7+ 0,8.0,15 = 0,26$.
Xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là $P\left(A|B\right)$.
Theo công thức Bayes ta có $P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{0,2.0,7}{0,26} = \dfrac{7}{13}$.