Bài 4. Hai mặt phẳng song song – Chương 2 – Hình học 11

1.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có ba vị trí tương đối:

Định nghĩa:  Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

2. Một số định lý và tính chất

Tính chất:

+) Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

+) Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\).

+) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

+) Nếu hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song thì mọi mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

Kí hiệu: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\\\left( \gamma  \right) \cap \left( \alpha  \right) = a\\\left( \gamma  \right) \cap \left( \beta  \right) = b\end{array} \right. \Rightarrow a//b\)

Định lý 1:  Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,b\) mà \(a,b\) lần lượt song song với hai đường thẳng \(a’,b’\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) thì mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\).

Kí hiệu: \(\left\{ \begin{array}{l}a,b \subset \left( \alpha  \right)\\a \cap b = O\\a//a’,b//b’\\a’,b’ \subset \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\)

Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.

Định lý 2: (Định lý Ta-let trong không gian)  Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Khi đó \(\dfrac{{AA’}}{{BB’}} = \dfrac{{A’A”}}{{B’B”}} = \dfrac{{AA”}}{{BB”}}\).

 

3. Hình lăng trụ và hình hộp

Định nghĩa hình lăng trụ:  Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Trong đó:

• Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
• Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
• Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:

a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.

b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.

c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

 

Định nghĩa hình hộp:  Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

Chú ý:  Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

5. Hình chóp cụt

Định nghĩa:  Cho hình chóp \(S.{A_1}{A_2}…{A_n}.\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh \(S{A_1},\,\,S{A_2},\,\,…,\,\,S{A_n}\) theo thứ tự tại \({A’_1},\,\,{A’_2},\,\,…,\,\,{A’_n}\,.\) Hình tạo bởi thiết diện \({A’_1}{A’_2}…{A’_n}\) và đáy \({A_1}{A_2}…{A_n}\) của hình chóp cùng với các mặt bên \({A_1}{A_2}{A’_2}{A’_1},\,\,{A_2}{A_3}{A’_3}{A’_2},\,\,…,\,\,{A_n}{A_1}{A’_1}A'{ _n}\) gọi là một hình chóp cụt.

 

Trong đó:

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

• Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
• Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như \({A_1}{A’_1},\,\,{A_2}{A’_2},\,\,…,\,\,{A_n}{A’_n}\) gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…

Tính chất:  Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:

1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

Bài tập minh họa

Bài toán 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:

• Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha  \right),b \subset \left( \alpha  \right)\\a \cap b = I\\a\parallel \left( \beta  \right)\\b\parallel \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\).

• Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với măt mặt phẳng thứ ba.

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( \gamma  \right)\\\left( \beta  \right)\parallel \left( \gamma  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\).

Ví dụ 1:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SD\). Chứng minh \(\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\).

Hướng dẫn:

Ta có \(M,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA,AC\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) ứng với cạnh \(SC\)do đó \(OM\parallel SC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Tương tự, Ta có \(N,O\) lần lượt là trung điểm của \(SD,BD\) nên \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) ứng với cạnh \(SB\)do đó \(OM//SB\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\). Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM \cap ON = O\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\).

 

Bài toán 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA \(\left( \alpha  \right)\) VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT \(\left( \alpha  \right)\) SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG \(\left( \beta  \right)\)CHO TRƯỚC

Phương pháp:

• Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau.
• Khi \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\)thì \(\left( \alpha  \right)\) sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong \(\left( \beta  \right)\)và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)

Sử dụng \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\\\left( \beta  \right)\parallel \left( \gamma  \right)\\\left( \beta  \right) \cap \left( \gamma  \right) = d\\M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right) = d’\parallel d,M \in d’\).

• Tìm đường thẳng \(d\) mằn trong \(\left( \beta  \right)\) và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa \(d\), khi đó \(\left( \alpha  \right)\parallel d\) nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa \(d\)( nếu có) theo các giao tuyến song song với \(d\).

Ví dụ 2:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(MN\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\). Thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn:

 

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right) = MK\parallel SA,K \in SB\).

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SAD} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SD\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha  \right) = NH\parallel SD,H \in SC\).

Dễ thấy \(HK = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Thiết diện là tứ giác \(MNHK\)

Ba mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( {SBC} \right)\) và \(\left( \alpha  \right)\) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là \(MN,HK,BC\), mà \(MN\parallel BC \Rightarrow MN\parallel HK\).

Vậy thiết diện là một hình thang.

 

Bài toán 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES

Phương pháp:

Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định.

Ví dụ 3:

Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,N\) là các điểm thay trên các cạnh \(AB,CD\) sao cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\).

a) Chứng minh \(MN\) luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} > 0\) và \(P\) là một điểm trên cạnh \(AC\). Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNP} \right)?\)

c) Tính theo \(k\) tỉ số diện tích tam giác \(MNP\) và diện tích thiết diện.

Hướng dẫn:

 

a) Do \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) nên theo định lí Thales thì các đường thẳng \(MN,AC,BD\) cùng song song với một mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\).Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(AC\) và song song với \(BD\)thì \(\left( \alpha  \right)\) cố định và \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\)suy ra \(MN\) luôn song song với \(\left( \alpha  \right)\) cố định.

b) Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} = k\), lúc này \(MP\parallel BC\) nên \(BC\parallel \left( {MNP} \right)\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\BC\parallel \left( {MNP} \right)\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NQ\parallel BC,Q \in BD\).

Thiết diện là tứ giác \(MPNQ.\)c) Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} \ne k\)

Trong \(\left( {ABC} \right)\)gọi \(R = BC \cap MP\)

Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(Q = NR \cap BD\) thì thiết diện là tứ giác \(MPNQ\).

Gọi \(K = MN \cap PQ\)

Ta có \(\frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{MPNQ}}}} = \frac{{PK}}{{PQ}}\).

Do \(\frac{{AM}}{{NB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) nên theo định lí Thales đảo thì \(AC,NM,BD\) lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng \(PQ\) cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại \(P,K,Q\) nên áp dụng định lí Thales ta được: \(\frac{{PK}}{{KQ}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} = k\)\( \Rightarrow \frac{{PK}}{{PQ}} = \frac{{PK}}{{PK + KQ}} = \frac{{\frac{{PK}}{{KQ}}}}{{\frac{{PK}}{{KQ}} + 1}} = \frac{k}{{k + 1}}\).