• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 11 / Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp – Chương 1 – Đại số 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp – Chương 1 – Đại số 11

Đăng ngày: 31/10/2019 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 11

Mục lục:

  1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
  2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác
  3. Phương trình bậc nhất đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)
  4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)
  5. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với\(\sin x\)và \(\cos x\)
  6. Ví dụ: 1
  7. Ví dụ 2:
  8. Ví dụ 3:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

– Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

– Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

Ví dụ: Giải phương trình: \(\cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\)

Giải:

pt\( \Leftrightarrow \)\(\cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(2\cos 3x\cos x + \cos 3x = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\cos 3x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\cos x =  – \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\),\(k \in \mathbb{Z}\)

Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).

– Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).

– Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).

Ví dụ: Giải phương trình: \(2{\sin ^2}x + 3\sin x-2 = 0\).

Giải:

Đặt \(t = \sin x\), \( – 1 \le t \le 1\). PT trở thành: \(2{t^2} + 3t-2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}t =  – \dfrac{1}{2}\\t =  – 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\sin x – \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\sin x = \sin \left( { – \dfrac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Phương trình bậc nhất đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Phương pháp chung:

Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)

– Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

– Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

– Bước 3: Đặt \(\cos \alpha  = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha  = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x – \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

– Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).

Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):

– Bước 1: Xét \(x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.

– Bước 2: Xét \(x \ne \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} – 2at + c – b = 0\).

– Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: \(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  – 2\)

Giải:

\(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  – 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x – \dfrac{1}{2}\cos x =  – 1\) \( \Leftrightarrow \) \(\sin x\cos \dfrac{\pi }{6} – \cos x\sin \dfrac{\pi }{6} =  – 1\)

\( \Leftrightarrow \) \(\sin \left( {x – \dfrac{\pi }{6}} \right) =  – 1\) \( \Leftrightarrow \)\(x – \dfrac{\pi }{6} =  – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow \) \(x =  – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng \({a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x = 0}\)

Cách giải.  

+) Kiểm tra \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) có là nghiệm của phương trình hay không.

+) Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta thu được phương trình

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0.\)

Đây là phương trình bậc hai đối với \(\tan x\) mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt. Phương trình dạng \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\) ta làm như sau:

Phương trình \( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.1\)

\( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {a – d} \right){\sin ^2}x + b\sin x\cos x + \left( {c – d} \right){\cos ^2}x = 0.\)

Ví dụ: Giải phương trình:\(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 3si{n^2}\dfrac{x}{2} = 3\)

Giải

+) TH1: \(\cos \dfrac{x}{2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\{\sin ^2}\dfrac{x}{2} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {4.0^2} + \dfrac{1}{2}.0 + 3.1 = 3\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

+) TH2: \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình có \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\) ta được phương trình tương đương:

\(\begin{array}{l}4\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + 3\dfrac{{si{n^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ \Leftrightarrow 4 + \tan \dfrac{x}{2} + 3{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = 3\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)\end{array}\)

Đặt t = tan\(\dfrac{x}{2}\) thì phương trình trở thành: \(3{t^2} + t + 4 = 3\left( {1 + {t^2}} \right)\)

\(t =  – 1 \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2} =  – 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} =  – \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x =  – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.

Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} – 1}}{2}\).

– Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).

– Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).

Ví dụ: Giải phương trình: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos {\rm{x  = }}\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\sqrt {1 + \sin {\rm{x}}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \)

Giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) \( \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.cosx = \dfrac{{{t^2} – 1}}{2}\)

Khi đó \(pt \Leftrightarrow \sqrt 6 .\sqrt {{t^2} + 1}  = 3t;t \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Leftrightarrow 6({t^2} + 1) = 9{t^2}\) \( \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow t = \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm như trên.

 

Ví dụ: 1

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin x – 1 = 0\,.\)

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)

c) \(3\tan x – 1 = 0.\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)

e) \(2\cos x – \sin 2x = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2\sin x – 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ – 1}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(3\tan x – 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)

 

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

e) \(\cos x – \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x – 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 2\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 – 2\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\)

c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x – 3 = 0\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0(1)\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:

\(2{t^2} + t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:

\({t^2} + 3t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ – 3 – \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \arccos \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x – 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x – 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x – 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x – 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

*) Giải phương trình: \(3\cos 2x – 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)

Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x – 7 = 0\) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)  (*)

(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0\)

Đặt \(t = \tan x\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t – \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với \(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),

\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)

(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x =  – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (1) là \(x =  – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình (2) trở thành:  \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} – \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t – 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} – 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với\(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)

(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  – 1} \right)\cos 2x = 3 – \sqrt 2 \)

Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2  – 1} \right)^2} \ge {\left( {3 – \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt 2  \ge 11 – 6\sqrt 2 \) (không thỏa)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Tag với:Học chương 1 đại số 11, Phương trình lượng giác

Bài liên quan:

  • Tự học Bài Một số phương trình lượng giác thường gặp – Toán 11
  • Tự học Bài Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11
  • Ôn Chương 1 – Đại số 11
  • Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản – Chương 1 – Đại số 11
  • Bài 1: Hàm số lượng giác – Chương 1 – Đại số 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.