Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp chung:
– Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…
– Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).
Ví dụ: Giải phương trình: \(\cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\)
Giải:
pt\( \Leftrightarrow \)\(\cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(2\cos 3x\cos x + \cos 3x = 0\)
\( \Leftrightarrow \)\(\cos 3x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\cos x = – \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\),\(k \in \mathbb{Z}\)
Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác
Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).
Phương pháp chung:
– Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).
– Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).
– Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).
Ví dụ: Giải phương trình: \(2{\sin ^2}x + 3\sin x-2 = 0\).
Giải:
Đặt \(t = \sin x\), \( – 1 \le t \le 1\). PT trở thành: \(2{t^2} + 3t-2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}t = – \dfrac{1}{2}\\t = – 2\left( L \right)\end{array} \right.\)
Suy ra: \(\sin x – \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\sin x = \sin \left( { – \dfrac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\)
Phương trình bậc nhất đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)
Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).
Phương pháp chung:
Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)
– Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
– Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:
\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
– Bước 3: Đặt \(\cos \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x – \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
– Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).
Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):
– Bước 1: Xét \(x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.
– Bước 2: Xét \(x \ne \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} – 2at + c – b = 0\).
– Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình: \(\sqrt 3 \sin x-\cos x = – 2\)
Giải:
\(\sqrt 3 \sin x-\cos x = – 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x – \dfrac{1}{2}\cos x = – 1\) \( \Leftrightarrow \) \(\sin x\cos \dfrac{\pi }{6} – \cos x\sin \dfrac{\pi }{6} = – 1\)
\( \Leftrightarrow \) \(\sin \left( {x – \dfrac{\pi }{6}} \right) = – 1\) \( \Leftrightarrow \)\(x – \dfrac{\pi }{6} = – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow \) \(x = – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)
Phương trình dạng \({a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x = 0}\)
Cách giải.
+) Kiểm tra \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) có là nghiệm của phương trình hay không.
+) Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta thu được phương trình
\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0.\)
Đây là phương trình bậc hai đối với \(\tan x\) mà ta đã biết cách giải.
Đặc biệt. Phương trình dạng \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\) ta làm như sau:
Phương trình \( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.1\)
\( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {a – d} \right){\sin ^2}x + b\sin x\cos x + \left( {c – d} \right){\cos ^2}x = 0.\)
Ví dụ: Giải phương trình:\(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 3si{n^2}\dfrac{x}{2} = 3\)
Giải
+) TH1: \(\cos \dfrac{x}{2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\{\sin ^2}\dfrac{x}{2} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {4.0^2} + \dfrac{1}{2}.0 + 3.1 = 3\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.
+) TH2: \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình có \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\) ta được phương trình tương đương:
\(\begin{array}{l}4\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + 3\dfrac{{si{n^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ \Leftrightarrow 4 + \tan \dfrac{x}{2} + 3{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = 3\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)\end{array}\)
Đặt t = tan\(\dfrac{x}{2}\) thì phương trình trở thành: \(3{t^2} + t + 4 = 3\left( {1 + {t^2}} \right)\)
\(t = – 1 \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2} = – 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = – \dfrac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với\(\sin x\)và \(\cos x\)
Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\).
Phương pháp chung:
– Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} – 1}}{2}\).
– Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).
– Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).
Ví dụ: Giải phương trình: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos {\rm{x = }}\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\sqrt {1 + \sin {\rm{x}}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \)
Giải
Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) \( \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.cosx = \dfrac{{{t^2} – 1}}{2}\)
Khi đó \(pt \Leftrightarrow \sqrt 6 .\sqrt {{t^2} + 1} = 3t;t \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\)
\( \Leftrightarrow 6({t^2} + 1) = 9{t^2}\) \( \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow t = \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm như trên.
Ví dụ: 1
Giải các phương trình sau:
a) \(2\sin x – 1 = 0\,.\)
b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)
c) \(3\tan x – 1 = 0.\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)
e) \(2\cos x – \sin 2x = 0\)
Hướng dẫn giải:
a) \(2\sin x – 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ – 1}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3\tan x – 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e) \(\cos x – \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x – 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 2\sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 – 2\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\)
c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x – 3 = 0\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3 = 0\)
Hướng dẫn giải:
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0(1)\)
Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:
\(2{t^2} + t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:
\({t^2} + 3t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ – 3 – \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x – 3 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x – 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x – 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x – 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
*) Giải phương trình: \(3\cos 2x – 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)
Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x – 7 = 0\) vô nghiệm.
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3 = 0\)
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) (*)
(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x\)
Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t – \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với \(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Ví dụ 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
Hướng dẫn giải:
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)
(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (1) là \(x = – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình (2) trở thành: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} – \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t – 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} – 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với\(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)
(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 – 1} \right)\cos 2x = 3 – \sqrt 2 \)
Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2} \ge {\left( {3 – \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt 2 \ge 11 – 6\sqrt 2 \) (không thỏa)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Để lại phản hồi