• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 11 / Bài 1: Hàm số lượng giác – Chương 1 – Đại số 11

Bài 1: Hàm số lượng giác – Chương 1 – Đại số 11

Đăng ngày: 31/10/2019 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 11

Mục lục:

  1. Hàm số tuần hoàn
  2. Các hàm số lượng giác
  3. Một số dạng toán thường gặp
  4. Bài tập minh họa

Hàm số tuần hoàn

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có TXĐ \(D\) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số \(T \ne 0\) sao cho:

  1. a)\(\forall x \in D\)đều có \(x – T \in D,x + T \in D\).
  2. b)\(\forall x \in D\)đều có \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\).

Số \(T > 0\) nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \(y = f\left( x \right)\).

Các hàm số lượng giác

a) Hàm số\(y = \sin x\)

– Có TXĐ \(D = R\), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), nhận mọi giá trị thuộc đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).

– Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\).

– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\)

b) Hàm số\(y = \cos x\)

– Có TXĐ \(D = R\), là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), nhận mọi giá trị thuộc đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).

– Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \pi  + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\)

– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\)

c) Hàm số \(y = \tan x\)

– Có TXĐ \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \(\pi \), nhận mọi giá trị thuộc \(R\).

– Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)\).

– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) làm đường tiệm cận.

d) Hàm số \(y = \cot x\)

– Có TXĐ \(D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \(\pi \), nhận mọi giá trị thuộc \(R\).

– Nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\).

– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng \(x = k\pi \) làm đường tiệm cận.

Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Phương pháp:

Sử dụng điều kiện xác định của các hàm phân thức, hàm căn bậc, hàm lượng giác (tan, cot).

– Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).

– Hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).

– Hàm số \(y = \tan u\left( x \right)\) xác định nếu \(\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

– Hàm số \(y = \cot u\left( x \right)\) xác định nếu \(\sin u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne k\pi \).

Dạng 2: Tìm chu kì của hàm số.

– Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\).

– Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).

– Hàm số \(y = {f_1}\left( x \right),y = {f_2}\left( x \right)\) lần lượt có chu kỳ \({T_1},{T_2}\) thì hàm số \(y = {f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right)\) có chu kỳ \({T_0} = BCNN\left( {{T_1},{T_2}} \right)\)

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác.

Phương pháp:

Sử dụng các đánh giá \( – 1 \le \sin x \le 1; – 1 \le \cos x \le 1\) để đánh giá tập giá trị của hàm số.

Khi tìm GTNN, GTLN cần xét điều kiện dấu “=” xảy ra.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)

b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} – 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} – k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)

b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\)

Lời giải:

a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow – 3 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\)

\(\Rightarrow – 2 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.

b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\)

\(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow – 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} – 5 \le \sqrt 2 – 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

Ví dụ 3:

Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:

a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\)

b) \(y = 2\cos 2x\)

c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Lời giải:

Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng:

  • Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\)
  • Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\)
  • Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
  • Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\)

a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)

 

 

Tag với:Hàm số lượng giác, Học chương 1 đại số 11

Bài liên quan:

  • Tự học Bài Hàm số lượng giác – Toán 11
  • Ôn Chương 1 – Đại số 11
  • Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp – Chương 1 – Đại số 11
  • Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản – Chương 1 – Đại số 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.