Hàm số tuần hoàn
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có TXĐ \(D\) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số \(T \ne 0\) sao cho:
- a)\(\forall x \in D\)đều có \(x – T \in D,x + T \in D\).
- b)\(\forall x \in D\)đều có \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\).
Số \(T > 0\) nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \(y = f\left( x \right)\).
Các hàm số lượng giác
a) Hàm số\(y = \sin x\)
– Có TXĐ \(D = R\), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), nhận mọi giá trị thuộc đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).
– Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\).
– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\)
b) Hàm số\(y = \cos x\)
– Có TXĐ \(D = R\), là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), nhận mọi giá trị thuộc đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).
– Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\)
– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\)
c) Hàm số \(y = \tan x\)
– Có TXĐ \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \(\pi \), nhận mọi giá trị thuộc \(R\).
– Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)\).
– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) làm đường tiệm cận.
d) Hàm số \(y = \cot x\)
– Có TXĐ \(D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì \(\pi \), nhận mọi giá trị thuộc \(R\).
– Nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\).
– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng \(x = k\pi \) làm đường tiệm cận.
Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện xác định của các hàm phân thức, hàm căn bậc, hàm lượng giác (tan, cot).
– Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).
– Hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).
– Hàm số \(y = \tan u\left( x \right)\) xác định nếu \(\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).
– Hàm số \(y = \cot u\left( x \right)\) xác định nếu \(\sin u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne k\pi \).
Dạng 2: Tìm chu kì của hàm số.
– Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\).
– Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).
– Hàm số \(y = {f_1}\left( x \right),y = {f_2}\left( x \right)\) lần lượt có chu kỳ \({T_1},{T_2}\) thì hàm số \(y = {f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right)\) có chu kỳ \({T_0} = BCNN\left( {{T_1},{T_2}} \right)\)
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác.
Phương pháp:
Sử dụng các đánh giá \( – 1 \le \sin x \le 1; – 1 \le \cos x \le 1\) để đánh giá tập giá trị của hàm số.
Khi tìm GTNN, GTLN cần xét điều kiện dấu “=” xảy ra.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)
b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\)
Lời giải:
a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)
b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)
c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} – 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} – k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)
b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\)
Lời giải:
a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow – 3 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\)
\(\Rightarrow – 2 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.
b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\)
\(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow – 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} – 5 \le \sqrt 2 – 5\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.
Ví dụ 3:
Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:
a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\)
b) \(y = 2\cos 2x\)
c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Lời giải:
Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng:
- Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\)
- Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\)
- Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
- Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)
b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)
c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)
Trả lời