Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình\(\sin x = m\).
+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi – \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\)
Đặc biệt: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
b) Phương trình\(\cos x = m\).
+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x = – \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\)
Đặc biệt: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = – \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
c) Phương trình\(\tan x = m\).
Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan m + k\pi \).
Đặc biệt: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
d) Phương trình\(\cot x = m\).
Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \).
Đặc biệt: \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
e) Các trường hợp đặc biệt
\( + )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\) \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
\( + )\sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \)
\( + )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
– Phương trình \(at + b = 0\left( {a,b \in R,a \ne 0} \right)\) với \(t = \sin x\left( {\cos x,\tan x,\cot x} \right)\) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \(\sin ,\cos ,\tan ,\cot \).
– Cách giải: Biến đổi \(at + b = 0 \Leftrightarrow t = – \dfrac{b}{a}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản.
Một số chú ý khi giải phương trình
– Khi giải phương trình lượng giác có chứa \(\tan ,\cot \), chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
– Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{\pi }{3}} \right)=0\).
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3}\).
Lời giải:
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{\pi }{3}} \right)=0\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} – \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \(\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi – \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2}\).
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải:
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} – \frac{\pi }{4} = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = – \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = – \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = c{\rm{os}}{45^0}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = – {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = – {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = – {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)
Ví dụ 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).
b) \(\tan (x – {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải:
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
b) \(\tan (x – {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow\) \(\tan (x – {15^0}) = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Ví dụ 4:
Giải các phương trình sau:
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).
b) \(\cot 4x = – 3.\)
c) \(\cot \left( {2x – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Lời giải:
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\) \(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cot 4x = – 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { – 3} \right) + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { – 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { – 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
c) \(\cot \left( {2x – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot \left( {2x – \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)
\(\Leftrightarrow 2x – \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Trả lời