Bài 3.20
Giả sử khi áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, ta dẫn đến
\(\int {f\left( x \right)} dx = aG\left( x \right) – b\int {f\left( x \right)} dx\)
Với \(b \ne 1\)
Chứng minh rằng
\(\int {f\left( x \right)} dx = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + C\) với C là hằng số.
Giải
Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx + b} \int {f\left( x \right)} dx = aG\left( x \right) + {C_1}\) (\({C_1}\) là hằng số nào đó).
Hay \(\left( {b + 1} \right)f\left( x \right)dx = aG\left( x \right) + {C_1}\)
Do đó: \(\int {f\left( x \right)dx} = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + {{{C_1}} \over {b + 1}} = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + C\)
———————————————————-
Bài 3.21 Sử dụng kết quả bài 3.20 để tìm
a) \(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx\) b) \(\int {{e^x}\sin } xdx\)
c) \(\int {{e^x}\sin 2} xdx\)
Giải
a) Đặt \(u = {e^x},v’ = c{\rm{os}}x\), ta dẫn đến
\(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {e^x}\sin x – \int {{e^x}\sin } xdx\) (1)
Tương tự:
\(\int {{e^x}\sin } xdx = – {e^x}{\rm{cos}}x + \int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx\) (2)
Thay (2) vào (1), ta được
\(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {e^x}\sin x + {e^x}{\rm{cos}}x – \int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx\)
Suy ra
\(\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {1 \over 2}{e^x}\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right) + C\)
Tương tự
b) \({1 \over 2}{e^x}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x – {\rm{cos}}x} \right) + C\)
c) \({1 \over 2}{e^x}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x – 2{\rm{cos2}}x} \right) + C\)
——————————————————–
Bài 3.22 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(\int {{x^3}\sin } xdx\) b) \(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx\)
Giải
a) Đặt \(u = {x^3},v = – c{\rm{os}}x\)
Ta có \(\int {{x^3}\sin } xdx = – {x^3}{\rm{cos}}x + 3\int {{x^2}{\rm{cos}}x} dx\).
Tiếp tục tính \(\int {{x^2}{\rm{cos}}} xdx\) bằng cách lấy nguyên hàm từng phần.
\(\int {{x^3}\sin } xdx\)
\(= – {x^3}{\rm{cos}}x + 3{x^2}\sin x + 6x\cos x – 6\sin x + C\)
b) \({{x\sin \left( {\ln x} \right) – x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\)
Biến đổi \(u = \ln x\) . Khi đó \(\sin \left( {\ln x} \right)dx = {e^u}\sin udu\). Ta có
\(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx = \int {e^u}\sin udu\)
\(= {1 \over 2}{e^u}\left( {\sin u – c{\rm{os}}u} \right) + C\)
\( = {{x\sin \left( {\ln x} \right) – x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\)
Trả lời