Bài 3.1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 1 – x\) b) \(y = 2 + {x^2}\)
c) \(y = {x^3} – 9\) d) \(y = {2 \over 5} + {1 \over 3}{x^2}\)
e) \(y = {1 \over 2}\sqrt x – {1 \over {{x^2}}}\) f) \(y = {5 \over 2}{x^{{3 \over 2}}} + 8x\)
Giải
a) \(x – {1 \over 2}{x^2} + C\) b) \(2x + {{{x^3}} \over 3} + C\)
c) \({{{x^4}} \over 4} – 9x + C\) d) \({2 \over 5}x + {{{x^3}} \over 9} + C\)
e) \({{\sqrt {{x^3}} } \over 3} + {1 \over x} + C\) f) \({x^{{5 \over 2}}} + 4{x^2} + C\)
———————————————-
Bài 3.2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right)\)
b) \(y = \left( {{x^2} – 3x} \right)\left( {x + 1} \right)\)
c) \(y = {\left( {x – 3} \right)^3}\)
d) \(y = \left( {x + 2{x^3}} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Giải
a) \({{{x^3}} \over 3} – {{{x^2}} \over 2} – 6x + C\)
b) \({{{x^4}} \over 4} – {{2{x^3}} \over 3} – {{3{x^2}} \over 2} + C\)
c) \({{{{\left( {x – 3} \right)}^4}} \over 4} + C\)
d) \({{2{x^5}} \over 5} + {{{x^4}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} + C\)
————————————————
Bài 3.3 Tìm
a) \(\int {{{{x^2} – 3x} \over x}} dx\) b) \(\int {{{4{x^3} + 5x – 1} \over {{x^2}}}} dx\)
c) \(\int {{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {{x^4}}}} dx\) d) \(\int {{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}} dx\)
Giải
a) \( \int {{{{x^2} – 3x} \over x}} dx= \int {(x – 3)} dx={{{x^2}} \over 2} – 3x + C\)
b) \(\int {{{4{x^3} + 5x – 1} \over {{x^2}}}} dx= \int {\left( {4x + {5 \over x} – {1 \over {{x^2}}}} \right)} dx\)
\(=2{x^2} + 2x + {1 \over x} + C\)
c) \( \int {{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {{x^4}}}} dx = \int {{{{x^2} + 4x + 4} \over {{x^4}}}} = \int {\left( {{1 \over {{x^2}}} + {4 \over {{x^3}}} + {4 \over {{x^4}}}} \right)} dx\)
\(=- {1 \over x} – {2 \over {{x^2}}} – {4 \over {3{x^3}}} + C\)
d) \(\int {{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}} dx = \int {{{{x^4} + 2{x^2} + 1} \over {{x^4}}}} \)
\(= \int {\left( {1 + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}} \right)} dx={{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} – {1 \over x} + C\)
—————————————————
Bài 3.4 Tìm
a) \(\int {\left( {{x^{{3 \over 4}}} + {x^{{1 \over 2}}} – 5} \right)} dx\)
b) \(\int {\sqrt x \left( {\sqrt x – 2x} \right)} \left( {x + 1} \right)dx\)
c) \(\int {\left( {{x^{ – 3}} – 2{x^{ – 2}} + 4x + 1} \right)} dx\)
d) \(\int {\left[ {\left( {2x + 3{x^{ – 2}}} \right)\left( {{x^2} – {1 \over x}} \right) + 3{x^{ – 3}}} \right]} dx\)
Giải
a) \(\int {\left( {{x^{{3 \over 4}}} + {x^{{1 \over 2}}} – 5} \right)} dx\) = \({4 \over 7}{x^{{7 \over 4}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} – 5x + C\)
b) \(\int {\sqrt x \left( {\sqrt x – 2x} \right)} \left( {x + 1} \right)dx\)
\(\eqalign{
& = \int {\left( {x – 2x\sqrt x } \right)\left( {x + 1} \right)} dx \cr
& = \int {({x^2} + x – 2{x^2}\sqrt x } – 2x\sqrt x )dx \cr} \)
\(={{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} – {4 \over 7}{x^{{7 \over 2}}} – {4 \over 5}{x^{{5 \over 2}}} + C\)
c) \(\int {\left( {{x^{ – 3}} – 2{x^{ – 2}} + 4x + 1} \right)} dx\)
\( =- {1 \over {2{x^2}}} + {2 \over x} + 2{x^2} + x + C\)
d) \(\int {\left[ {\left( {2x + 3{x^{ – 2}}} \right)\left( {{x^2} – {1 \over x}} \right) + 3{x^{ – 3}}} \right]} dx\)
\(\eqalign{
& = \int {\left( {2{x^3} – 2 + 3 – {3 \over {{x^3}}} + {3 \over {{x^3}}}} \right)dx} \cr
& = \int {\left( {2{x^3} + 1} \right)dx} \cr} \)
\(={{{x^4}} \over 2} + x + C\)
————————————————
Bài 3.5 Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết rằng
a) \(f\left( x \right) = 2x + 1\) và \(f\left( 1 \right) = 5\)
b) \(f\left( x \right) = 2 – {x^2}\) và \(f\left( 2 \right) = {7 \over 3}\)
c) \(f\left( x \right) = 4\sqrt x – x\) và \(f\left( 4 \right) = 0\)
d) \(f\left( x \right) = x – {1 \over {{x^2}}} + 2\) và \(f\left( 1 \right) = 2\)
Giải
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + x + C\). Vì \(f\left( 1 \right) = 5\) suy ra \(C = 5 – 2 = 3\)
Vậy \(f(x)={x^2} + x + 3\)
b) \(f(x)=2x – {{{x^3}} \over 3}+C\). Vì \(f\left( 2 \right) = {7 \over 3}\) suy ra \(C=1\)
Vậy \(f(x)=2x – {{{x^3}} \over 3} + 1\)
c) \(f(x)={{8x\sqrt x } \over 3} – {{{x^2}} \over 2}+C \). Vì \(f\left( 4 \right) = 0\) suy ra \(C= – {{40} \over 3}\)
Vậy \(f(x)={{8x\sqrt x } \over 3} – {{{x^2}} \over 2} – {{40} \over 3}\)
d) \(f(x)={{{x^2}} \over 2} + {1 \over x} + 2x+C\). Vì \(f\left( 1 \right) = 2\) suy ra \(C=- {3 \over 2}\)
Vậy \(f(x)={{{x^2}} \over 2} + {1 \over x} + 2x – {3 \over 2}\).
—————————————————–
Bài 3.7
Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu biết \(f’\left( x \right) = ax + {b \over {{x^2}}},f\left( { – 1} \right) = 2,f\left( 1 \right) = 4,f’\left( 1 \right) = 0\).
Giải
\(f\left( x \right) = {{a{x^2}} \over 2} – {b \over x} + c\) . Từ điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{{a \over 2} + b + c = 2 \hfill \cr{a \over 2} – b + c = 4 \hfill \cr a + b = 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải ra ta được \(a = 1,b = – 1,c = {5 \over 2}\)
Vậy \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {1 \over x} + {5 \over 2}\)
—————————————————
Bài 3.8
Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu biết \(f’\left( x \right) = {{15\sqrt x } \over {14}},f\left( 1 \right) = 4\)
Giải
\(f(x)={{5\sqrt {{x^3}} } \over 7}+C\)
Vì \(f\left( 1 \right) = 4\) nên \({5 \over 7} + C = 4 \Rightarrow C = {{23} \over 7}\)
Vậy \(f(x)={{5\sqrt {{x^3}} } \over 7} + {{23} \over 7}\).
Trả lời