Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 2:
Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K thì:
\(\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) – \int {u'(x)v(x)dx}\)
Công thức ngắn gọn: \(\int {udx} = u.v – \int {vdu}\)
Một số dạng thường gặp:
- Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)
Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)
- Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)
Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)
Nhớ: đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” còn lại đặt dv
Ví dụ 1: đạng 1
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:
1) ${I} = \int {x{e^{x}}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^{x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^{x}}
\end{array} \right.$
$\Rightarrow {I} = x{e^{x}} – \int {{e^{x}}dx}=x{e^{x}} – e^{x} + C$
==========
2) \(I = \int {x{\rm{sin2}}xdx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = – \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow I = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
=============
3) \(I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – {I_1}\)
Tính \({I_1} = \int {x{e^{2x}}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\)
Vậy: \(I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} – 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C\)
==========
4) \(I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \left( {4x + 1} \right)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)
Tính: \({I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 4x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4{e^x} + C = \left( {4x – 3} \right){e^x} + C\)
\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \left( {4x – 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} – 3x + 4} \right){e^x} + C\)
============
5) \(I = \int {x{{\cos }^2}2xdx}\)
\(\begin{array}{l} I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1} \end{array}\)
Tính \({I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{2}x\\ dv = \cos 4xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{2}dx\\ v = \frac{1}{4}\sin 4x \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x – \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)
Vậy: \(I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)
==============
Ví dụ 2: đạng 2
1) $I=\int xlnxdx$
$\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\end{array} \right.$
$I=\frac{x^2}{2}ln x-\frac{1}{2}\int xdx$
$=\frac{x^2}{2}ln x-\frac{x^2}{4}+C$
=============
2) Tính $\int {\left( {{x^2} – 3x} \right)\ln xdx} $
Giải
$\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\dv = \left( {{x^2} – 3x} \right)dx \Rightarrow v = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \int {\left( {{x^2} – 3x} \right)\ln xdx} = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x – \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\frac{1}{x}dx} $
$ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x – \int {\left( {\frac{1}{3}{x^2} – \frac{3}{2}x} \right)dx} $
$ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x – \left( {\frac{1}{6}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2}} \right)$
=============
Ví dụ 3: khác
1) $I=\int {{e^x}\cos xdx}$ (từng phần 2 lần)
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = cosx \Rightarrow du = -sinxdx\\dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\end{array} \right.$
\(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\cos x + \int {{e^x}\sin xdx}\)
$J=\int {{e^x}\sin xdx}$ đặt như trên
Ta có: \(\int {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\sin x – \int {{e^x}\cos xdx}\)
Do đó ta có:
\(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos xdx}\)
\(\Rightarrow \int {{e^x}\cos xdx} = \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right)\)
============
2) $I = \int {\sin \sqrt x dx}$ (kết hợp 2 phương pháp.
Đặt $\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = \int {\sin t.\left( {2tdt} \right)} = \int {2t\sin tdt} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 2t\\
dv = \sin tdt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2dt\\
v = – \cos t
\end{array} \right. \Rightarrow I = – 2t\cos t + 2\int {\cos tdt} = – 2t\cos t + 2\sin t + C$
Vậy $I = 2\sin \sqrt x – 2\sqrt x \cos \sqrt x + C$
Trả lời