Bài 3: Tích của vec tơ với một số – Lời giải bài 1.20, 1.21, 1.22, 1.23, 1.24, 1.25, 1.26, 1.27 trang 33; bài 1.28, 1.29, 1.30, 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình lớp 10.
Bài 1.20 trang 33
Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow { – b} \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\)
d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\)
e) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
g) \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
h) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
Gợi ý làm bài
a) \(\vec a = \vec b \Rightarrow m = 1\)
b) \(\vec a = – \vec b \Rightarrow m = – 1\)
c) \(\vec a,\vec b\) cùng hướng \( \Rightarrow m > 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{20} \over 5} = 4\)
Vậy m = 4.
d) \(\vec a,\vec b\) ngược hướng \( \Rightarrow m < 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}\)
Vậy \(m = – {1 \over 3}\)
e) \(\eqalign{
& \vec a = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 0 \cr
& \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {0 \over {\left| {\vec b} \right|}} = 0 \Rightarrow m = 0 \cr} \)
g) \(\vec b = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 0 \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{\left| {\vec a} \right|} \over 0}\)
=> không tồn tại m.
h) \(\vec a = \vec b = \vec 0 \Rightarrow \) mọi giá trị của m đều thỏa mãn.
Bài 1.21 trang 33
Chứng minh rằng:
a) Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \)
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) và \(m \ne 0\) thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
c) Nếu \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \ne 0\) thì m = n
Gợi ý làm bài
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) và \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. Ta có \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {m\overrightarrow b } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\) do đó \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right|\)
\(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng . Vậy \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \)
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right| = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) vì \(m \ne 0\)
\(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng => \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
Vậy \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
c) \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {n\overrightarrow a } \right| = > \left| m \right| = \left| n \right|\) vì \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)
\(m\overrightarrow a ,n\overrightarrow a \) cùng hướng => m và n cùng dấu.
Vậy m = n.
Bài 1.22 trang 33 SBT Toán Hình 10
Chứng minh rằng tổng của n véc tơ \(\overrightarrow a \) bằng \(n\overrightarrow a \) (n là số nguyên dương).
Trả lời
\(\overrightarrow a + \overrightarrow a + … + \overrightarrow a = (1 + 1 + … + 1)\overrightarrow a = n\overrightarrow a \)
Bài 1.23 trang 33
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Giải
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của BC)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = – 2\overrightarrow {GI} \)
Từ đó suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng, trong đó GA = 2GI, G nằm giữa A và I.
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 1.24 SBT Toán 10
Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow 0 \) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải
Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Ta có:
\(\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’A’} \)
\(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’B’} \)
\(\overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’C’} \)
Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được
\(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = 3\overrightarrow {GG’} \)
Do đó, nếu \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow 0 \) hay G = G’
Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm thì \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow 0 \)
Bài 1.25 trang 33
Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ:
a) \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
b) \(\overrightarrow a – 2\overrightarrow b \)
c) \( – \overrightarrow a + {1 \over 2}\overrightarrow b\)
Hãy vẽ trường hợp \(\overrightarrow a – 2\overrightarrow b \)
Bài 1.26 trang 33
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.
a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \)
b) Tính độ dài của vec tơ \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \) theo a.
a) \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} = 2(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AF} ) = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AF} \)
b) \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}\)
\( = > \left| {{1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} } \right| = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} = {1 \over 2}a\sqrt 3 = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Bài 1.27 Toán 10 hình học
Cho tam giác ABC có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có tứ giác AFME là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Có thể chứng minh cách khác như sau:
Vì M là trung điểm của BC nên \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
Hay \(\overrightarrow {AM} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\)
\( = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Bài 1.28 trang 34 SBT Toán Hình 10
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN.
Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AK} \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {AK} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} )\)
\( = {1 \over 2}({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {2 \over 3}\overrightarrow {AC} )\)
\( = {1 \over 4}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \)
Bài 1.29 trang 34
Cho tam giác ABC. Dựng \(\overrightarrow {A’B} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {C’A} = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC’} = \overrightarrow {CA} \)
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B’C’
b) Chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy
Đáp án
a) \(\overrightarrow {BC’} = \overrightarrow {CA} \) => Tứ giác ACBC’ là hình bình hành => \(\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {CB} \)
\(\overrightarrow {AB’} + \overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \) =>A là trung điểm của B’C’
b) Vì tứ giác ACBC’ là hình bình hành nên CC’ chứa trung tuyến của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh C. Tương tự như vậy với AA’, BB’. Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 1.30 trang 34 SBT Toán Hình 10
Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho $$CI = {1 \over 4}CA$$, J là điểm mà
\(\overrightarrow {BJ} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} – {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \)
a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI} = {3 \over 4}\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \)
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.
a) \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = – \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} \)
b) \({2 \over 3}\overrightarrow {BI} = {2 \over 3}\left( { – \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} } \right) = – {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {BJ} = {2 \over 3}\overrightarrow {BI}\)
B, J, I thẳng hàng.
c) Học sinh tự dựng điểm J.
Bài 1.31 Toán hình 10
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
Bài giải
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \) ( Vì O là trung điểm của AC)
\(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \) ( Vì O là trung điểm của BD)
Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
Bài 1.32
Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \)
HD giải
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ}\)
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ} \)
Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được
\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} ) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + (\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} ) \cr
& = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \cr} \)
Bài 1.33
Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.
Khi đó $\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \)
\( = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} ) + \overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} )\)
\(\overrightarrow { = AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \)
(Vì \(\overrightarrow {NM} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA}\) nên \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {CA} \))
Vậy \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.
Bài 1.34 SBT Toán hình lớp 10
Cho tam giác ABC.
a)Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \)
b)Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
Gợi ý làm bài
(Xem h.1.54)
a) \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {KB} – \overrightarrow {KC} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \)
K là trọng tâm của tam giác ABC.
b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow M C = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của AB)
Hay \(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \) M là trung điểm của IC.
Bài 1.35 trang 34
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \);
\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \);
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?
a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên \(BD \bot AB,DC \bot AC\)
Ta có \(CH \bot AB,BH \bot AC\) nên suy ra CH // BD và BH // DC.
Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Vì O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} (1)\)
Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \).
Vậy từ (1) suy ra:
\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} (2)\)
Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra
\(\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \)
Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} (3)\)
c) G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \)
Từ (3) suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.
Để lại một bình luận