Giải SBT Bài 1: Các định nghĩa – Chương 1 – Hình học 10

Bài 1.1 trang 12 SBT Toán Hình 10

Hãy tính số các vec tơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau:

a) Hai điểm

b) Ba điểm;

c) Bốn điểm.

Trả lời

a) Với hai điểm A, B có hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} \)

b) Với ba điểm A, B, C có 6 vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} \)

c) Với bốn điểm A, B, C, D có 12 véc tơ (học sinh tự liệt kê).

Bài 1.2 trang 12

Cho hình vuông ABCD có tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau (khác \(\overrightarrow 0 \)) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

Gợi ý làm bài

(h 1.34)

\(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA} \)

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \)

\(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {OD} \)

\(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {CO}  = \overrightarrow {OA} \)

Bài 1.3 trang 12 SBT Hình 10

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh \(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MQ} \) và \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {NM} \)

Bài giải

(h. 1.35)

MN = PQ và MN // PQ

Vì chúng đều bằng \({1 \over 2}\) AC và đều song song với AC .

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành nên ta có:

\(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {NM} \)

Bài 1.4

Cho tam giác ABC. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vec tơ \(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {BC} \). Vì sao có thể nói hai vec tơ này cùng phương?

Bài giải:  (h. 1. 36)

MN // BC  và \(MN = {1 \over 2}BC\) hay \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = {1 \over 2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)

Vì MN // BC nên \(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng phương.

Bài 1.5 trang 12 Sách bài tập Toán Hình 10

Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) thì \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

Đáp án: (h. 1.37)

Tứ giác ABCD có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) nên AB = DC và AB // DC. Do đó ABCD là hình bình hành, suy ra:

\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

Bài 1.6 trang 12 Toán Hình lớp 10

Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)

b) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) ngược hướng;

c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.

Bài giải

a) Nếu \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\) thì điểm C nằm giữa hai điểm A và B (h.1.38)

b) Nếu \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) ngược hướng thì điểm A nằm giữa hai điểm B và C (h. 1.39)

c) Nếu \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Trường hợp  \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng

– Nếu \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\) thì C nằm giữa A và B.

– Nếu \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| < \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\) thì B nằm giữa A và C.

Trường hợp Trường hợp  \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) ngược hướng thì A nằm giữa B và C.

Bài 1.7 trang 12

Cho hình bình hành ABCD. Dựng \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {DA} \), \(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {DC} \),  \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {BC} \). Chứng minh \(\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow 0 \)

Gợi ý làm bài

(h.1.40)

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BA} \)

\(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \)

Suy ra AM = NP và AM // NP. Vậy tứ giác AMNP là hình bình hành. (1)

Ta có \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CB} \)

Suy ra PQ = MN và P Q // MN . Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (2).

Từ (1) và (2) suy ra A = Q hay \(\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow 0 \)