Giải SBT Toán 11 Ôn tập Chương 5 – Đạo hàm – Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
Bài 1 trang 214
Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) \(y = x{\cot ^2}x\) ;
b) \(y = {{\sin \sqrt x } \over {\cos 3x}}\) ;
c) \(y = {\left( {\sin 2x + 8} \right)^3}\) ;
d) \(y = \left( {2{x^3} – 5} \right)\tan x.\)
Giải :
a) \({\cot ^2}x – {{2x\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\) ;
b) \({{\cos \sqrt x \cos 3x + 6\sqrt x \sin \sqrt x \sin 3x} \over {2\sqrt x {{\cos }^2}3x}}\) ;
c) \(6\cos 2x{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}\) ;
d) \(6{x^2}\tan x + {{2{x^3} – 5} \over {{{\cos }^2}x}}.\)
Bài 2 trang 214
Giải phương trình \(f’\left( x \right) = g\left( x \right),\) biết rằng
a) \(f\left( x \right) = {{1 – \cos 3x} \over 3};g\left( x \right) = \left( {\cos 6x – 1} \right)\cot 3x.\)
b) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x;g\left( x \right) = 1 – {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2}.\)
c) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x;g\left( x \right) = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}}.\)
Giải :
a) \(f\left( x \right) = {{1 – \cos 3x} \over 3} \Rightarrow f’\left( x \right) = \sin 3x.\) Ta có
\(f’\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left( {\cos 6x – 1} \right).\cot 3x = \sin 3x\) (điều kiện: \(\sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne \pm 1\) )
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {\cos 6x – 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 – 2{{\sin }^2}3x – 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^2}3x.\left( {2\cos 3x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = – {1 \over 2}{\rm{ }}\left( {{\rm{vì}}\,\,\sin 3x \ne 0{\rm{ }}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow 3x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {{2\pi } \over 9} + k{{2\pi } \over 3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
b) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x \Rightarrow f’\left( x \right) = – \sin 2x.\) Ta có
\(\eqalign{
& f’\left( x \right) = g\left( x \right) \cr
& \Leftrightarrow – \sin 2x = 1 – {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + 2\sin 3x\cos 3x \cr
& \Leftrightarrow \sin 6x – \sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 4x = 0 \hfill \cr
\sin 2x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
2x = n\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4} \hfill \cr
x = n{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\left( {k,n \in Z} \right). \cr}\)
c) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x \Rightarrow f’\left( x \right) = \cos 2x – 5\sin x.\) Ta có
\(\eqalign{
& f’\left( x \right) = g\left( x \right) \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x – 5\sin x = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = \cos 2x – 3{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + 3{\cos ^2}x = {\cos ^2}x – 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = – 2{\cos ^2}x – 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = – 2 – 2{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0. \cr} \)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { – 1;1} \right],\) ta có phương trình \(2{t^2} + 5t + 2 = 0.\)
Giải phương trình \(t = – {1 \over 2}\) ta được (loại t = -2 ).
\(\eqalign{
& \sin x = – {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { – {\pi \over 6}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
Bài 3 trang 214 SBT Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra :
a) \(f\left( x \right) = {{\sqrt {x + 1} } \over {\sqrt {x + 1} + 1}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f’\left( 0 \right) = ?\)
b) \(y = {\left( {4x + 5} \right)^2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y’\left( 0 \right) = ?\)
c) \(g\left( x \right) = \sin 4x\cos 4x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g’\left( {{\pi \over 3}} \right) = ?\)
Giải:
a) \({1 \over 8}\) ; b) 40 ; c) -2
Bài 4 trang 214 SBT Đại số lớp 11
Chứng minh rằng \(f’\left( x \right) > 0\forall x \in R,\) nếu
a) \(f\left( x \right) = {2 \over 3}{x^9} – {x^6} + 2{x^3} – 3{x^2} + 6x – 1\) ;
b) \(f\left( x \right) = 2x + \sin x.\)
Giải :
a)
\(\eqalign{
& f’\left( x \right) = 6\left( {{x^8} – {x^5} + {x^2} – x + 1} \right) \cr
& = 6{x^2}\left( {{x^6} – {x^3} + {1 \over 4}} \right) + 3{x^2} + 6\left( {{{{x^2}} \over 4} – x + 1} \right) \cr
& = 6{x^2}{\left( {{x^3} – {1 \over 2}} \right)^2} + 3{x^2} + 6{\left( {{x \over 2} – 1} \right)^2} > 0,\forall x \in R. \cr} \)
b) \(f’\left( x \right) = 2 + \cos x > 0,\forall x \in R.\)
Bài 5
Xác định a để \(f’\left( x \right) > 0\forall x \in R,\) biết rằng
\(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {a – 1} \right){x^2} + 2x + 1.\)
Giải :
\(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {a – 1} \right)x + 2.\)
\(\Delta ‘ = {\left( {a – 1} \right)^2} – 6 = {a^2} – 2a – 5.\) Ta phải có
\(\Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow {a^2} – 2a – 5 < 0 \Leftrightarrow 1 – \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\)
Vậy \(f’\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\) nếu \(1 – \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\)
Bài 6
Xác định a để \(g’\left( x \right) \ge 0\forall x \in R,\) biết rằng
\(g\left( x \right) = \sin x – a\sin 2x – {1 \over 3}\sin 3x + 2ax.\)
Giải :
\(\eqalign{
& g’\left( x \right) = \cos x – 2a\cos 2x – \cos 3x + 2a \cr
& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr
& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr
& {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left( {a + \cos x} \right). \cr} \)
Rõ ràng với a > 1 thì \(a + \cos x > 0\) và \({\sin ^2}x \ge 0\) với mọi \(x \in R\) nên với a > 1 thì \(g’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R.\)
Bài 7 trang 215 SBT Đại số và giải tích 11
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(y = \tan x\) có hoành độ \({x_0} = {\pi \over 4}.\)
Đáp số : 2.
Bài 8 SBT Đại số và giải tích 11
Trên đường cong \(y = 4{x^2} – 6x + 3,\) hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 2x.\)
Đáp số : (1; 1)
Bài 9 trang 215
Đồ thị hàm số \(y = {1 \over {\sqrt 3 }}\sin 3x\) cắt trục hoành tại gốc toạ độ dưới một góc bao nhiêu độ (góc giữa trục hoành và tiếp tuyến củađồ thị tại giao điểm) ?
Giải :
Đáp số : \({60^o}.\)
Bài 10 trang 215 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho hàm số
\(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) ; (C)
\(g\left( x \right) = {x^2} – 3x – 1.\)
a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left( {1;3} \right),\left( { – 1; – 3} \right)\) và \(f’\left( {{1 \over 3}} \right) = {5 \over 3}\) ;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) ;
c) Giải phương trình \(f’\left( {\sin t} \right) = 3\) ;
d) Giải phương trình \(f”\left( {\cos t} \right) = g’\left( {\sin t} \right)\) ;
e) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f”\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g’\left( {\sin 3z} \right) + 3}}.\)
Giải :
a)
\(\eqalign{
& c = 2,b = – 1,d = 1 \cr
& \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} – {x^2} + 2x + 1{\rm{ }}; \cr} \)
b) \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 2x + 2 \Rightarrow f’\left( 1 \right) = 3.\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1;3} \right)\) là
\(y – 3 = 3\left( {x – 1} \right)\) hay \(y = 3x.\)
c)
\(\eqalign{
& f’\left( {\sin t} \right) = 3{\sin ^2}t – 2\sin t + 2. \cr
& f’\left( {\sin t} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow 3{\sin ^2}t – 2\sin t – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin t = 1 \hfill \cr
\sin t = – {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr
t = \arcsin \left( { – {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr
t = \pi – \arcsin \left( { – {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& f”\left( x \right) = 6x – 2 \cr
& \Rightarrow f”\left( {\cos t} \right) = 6\cos t – 2 \cr} \) ;
\(\eqalign{
& g’\left( x \right) = 2x – 3 \cr
& \Rightarrow g’\left( {\sin t} \right) = 2\sin t – 3. \cr} \)
Vậy
\(\eqalign{
& 6\cos t – 2 = 2\sin t – 3 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin t – 6\cos t = 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin t – 3\cos t = {1 \over 2}. \cr} \)
Đặt \(\tan \varphi = 3,\) ta được
\(\sin \left( {t – \varphi } \right) = {1 \over 2}\cos \varphi = \alpha .\) Suy ra
\(\left[ \matrix{
t = \varphi + \arcsin \alpha + k2\pi \hfill \cr
t = \pi + \varphi – \arcsin \alpha + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \hfill \cr} \right.\)
e)
\(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f”\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g’\left( {\sin 3z} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{6\sin 5z} \over {2\sin 3z}} = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{{{\sin 5z} \over {5z}}} \over {{{\sin 3z} \over {3z}}}} = 5.\)
Bài 11 trang 215 SBT Đại số 11
Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol \(y = {{{a^2}} \over x}\) lập thành với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Giải :
\(y = {{{a^2}} \over x} \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = – {{{a^2}} \over {x_0^2}}.\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là
\(\eqalign{
& y – {{{a^2}} \over {{x_0}}} = – {{{a^2}} \over {x_0^2}}\left( {x – {x_0}} \right) \cr
& \Leftrightarrow y = – {{{a^2}x} \over {x_0^2}} + {{2{a^2}} \over {{x_0}}}. \cr} \)
Suy ra diện tích tam giác OAB là
\(S = {1 \over 2}.\left| {{{2{a^2}} \over {{x_0}}}} \right|.2\left| {{x_0}} \right| = 2{a^2} = const.\)
Bài 12 trang 215
Chứng minh rằng nếu hàm số \(f\left( z \right)\) có đạo hàm đến cấp n thì
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( n \right)} = {a^n}f_z^{\left( n \right)}\left( {ax + b} \right).\)
Giải :
HD: Chứng minh bằng quy nạp.
Trả lời