Một chiếc hộp không nắp được làm từ một tấm bìa các-tông, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và có thể tích bằng $500\text{ cm}^3$. Tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất của chiếc hộp (tính theo đơn vị $\text{cm}^2$)

Bước 1: Đặt biến và thiết lập biểu thức hình học

Gọi cạnh của đáy hình vuông là $x$ $(\text{cm})$ và chiều cao của chiếc hộp là $h$ $(\text{cm})$ với điều kiện $x > 0, h > 0$.

Thể tích của khối hộp chữ nhật là: $$V = x^2 \cdot h = 500 \implies h = \frac{500}{x^2}$$

Bước 2: Lập hàm số biểu thị diện tích toàn phần

Do chiếc hộp không có nắp nên diện tích toàn phần bằng tổng diện tích của đáy và $4$ mặt bên xung quanh: $$S(x) = S_{\text{đáy}} + 4 \cdot S_{\text{bên}} = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{500}{x^2} = x^2 + \frac{2000}{x}\quad (x > 0)$$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $S(x)$

Cách 1: Sử dụng đạo hàm

Xét hàm số $S(x) = x^2 + \frac{2000}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$: $$S'(x) = 2x – \frac{2000}{x^2} = \frac{2x^3 – 2000}{x^2}$$ Cho $S'(x) = 0 \iff 2x^3 – 2000 = 0 \iff x^3 = 1000 \iff x = 10$.

Ta có bảng biến thiên: – Khi $0 < x < 10$ thì $S'(x) < 0$, hàm số nghịch biến. - Khi $x > 10$ thì $S'(x) > 0$, hàm số đồng biến.

Do đó hàm số đạt cực tiểu (và là giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$) tại $x = 10\text{ cm}$.

Giá trị nhỏ nhất của diện tích là: $$S_{\min} = S(10) = 10^2 + \frac{2000}{10} = 100 + 200 = 300\text{ cm}^2$$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Với mọi $x > 0$, ta tách đại lượng nghịch đảo để triệt tiêu biến $x$: $$S(x) = x^2 + \frac{1000}{x} + \frac{1000}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{1000}{x} \cdot \frac{1000}{x}} = 3\sqrt[3]{10^6} = 3 \cdot 100 = 300$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $$x^2 = \frac{1000}{x} \iff x^3 = 1000 \iff x = 10\text{ (thỏa mãn)}$$

Tương tự như bài toán tối ưu thùng chứa hình trụ, việc lựa chọn kích thước hợp lý giúp tiết kiệm tối đa chi phí nguyên vật liệu sản xuất.

👉 Đáp số (kết quả điền số): 300