📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Sau khi tiêm một liều thuốc kháng sinh cho bệnh nhân, nồng độ thuốc tồn tại trong máu của bệnh nhân sau $t$ giờ ($t \ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$ (đơn vị: $\text{mg/L}$). Tốc độ thay đổi nồng độ thuốc trong máu tại thời điểm $t = 2$ giờ bằng bao nhiêu $\text{mg/(L}\cdot\text{h)}$? (Điền kết quả dưới dạng số thập phân, nếu kết quả là số âm thì điền kèm dấu trừ).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong chương trình Toán 12, đại lượng tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số $y = f(x)$ tại thời điểm $x = x_0$ chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó: $f'(x_0)$.
- Nếu $f'(x_0) > 0$: Đại lượng đang có xu hướng tăng tại thời điểm $x_0$ với tốc độ $|f'(x_0)|$.
- Nếu $f'(x_0) < 0$: Đại lượng đang có xu hướng giảm tại thời điểm $x_0$ với tốc độ giảm là $|f'(x_0)|$.
- Quy tắc tính đạo hàm hàm phân thức: $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$.
Tương tự các bài toán thực tế đã học như tính tốc độ xả nước tức thời hay tốc độ lây lan dịch bệnh, ta chỉ cần đạo hàm hàm số theo biến $t$ và thay giá trị thời điểm cần tính.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định ý nghĩa toán học của yêu cầu bài toán
Tốc độ thay đổi nồng độ thuốc trong máu tại thời điểm $t = 2$ giờ chính là đạo hàm $C'(2)$.
Bước 2: Lấy đạo hàm của hàm số $C(t)$
Hàm số đã cho là:
$$C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$$Áp dụng công thức đạo hàm thương $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$, ta có:
$$C'(t) = \frac{(10t)'(t^2 + 1) – 10t(t^2 + 1)’}{(t^2 + 1)^2}$$ $$C'(t) = \frac{10(t^2 + 1) – 10t \cdot 2t}{(t^2 + 1)^2} = \frac{10t^2 + 10 – 20t^2}{(t^2 + 1)^2} = \frac{10 – 10t^2}{(t^2 + 1)^2}$$Bước 3: Tính giá trị tại $t = 2$
Thay $t = 2$ vào biểu thức của đạo hàm $C'(t)$:
$$C'(2) = \frac{10 – 10 \cdot (2)^2}{(2^2 + 1)^2} = \frac{10 – 40}{5^2} = \frac{-30}{25} = -1{,}2$$Ý nghĩa: Tại thời điểm $t = 2$ giờ, nồng độ thuốc trong máu đang giảm dần với tốc độ là $1{,}2\text{ mg/(L}\cdot\text{h)}$.
👉 Đáp số (kết quả điền số): -1.2
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Số lượng vi khuẩn trong một đĩa nuôi cấy sinh học sau $t$ giờ ($t \ge 0$) được xác định bởi hàm số $P(t) = 500 + \frac{1800t}{t^2 + 9}$ (con). Tính tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t = 1$ giờ (đơn vị: con/giờ).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $P'(t) = \left(500 + \frac{1800t}{t^2 + 9}\right)’ = \frac{1800(t^2 + 9) – 1800t(2t)}{(t^2 + 9)^2} = \frac{1800(9 – t^2)}{(t^2 + 9)^2}$.
Tại $t = 1$: $P'(1) = \frac{1800(9 – 1)}{(1 + 9)^2} = \frac{1800 \times 8}{100} = 144$.
👉 Đáp số: 144
Bài tập 2: Khi một vật được làm nguội trong phòng thí nghiệm, nhiệt độ của vật (đơn vị: $^{\circ}\text{C}$) sau $t$ phút ($t \ge 0$) tuân theo quy luật $T(t) = 25 + \frac{150}{t + 2}$. Tính tốc độ giảm nhiệt độ của vật tại thời điểm $t = 3$ phút (đơn vị: $^{\circ}\text{C/phút}$).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tốc độ thay đổi nhiệt độ là $T'(t) = -\frac{150}{(t + 2)^2}$.
Tại $t = 3$: $T'(3) = -\frac{150}{(3 + 2)^2} = -\frac{150}{25} = -6\,^{\circ}\text{C/phút}$.
Tốc độ giảm nhiệt độ bằng $|T'(3)| = 6\,^{\circ}\text{C/phút}$.
👉 Đáp số: 6
Bài tập 3: Doanh thu bán hàng (tính bằng triệu đồng) của một công ty khi chi $x$ triệu đồng ($x \ge 1$) cho quảng cáo được mô hình bởi hàm số $R(x) = 50 + 40\sqrt{x}$. Tốc độ thay đổi doanh thu (doanh thu cận biên) khi chi phí quảng cáo ở mức $x = 16$ triệu đồng bằng bao nhiêu?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Đạo hàm của hàm doanh thu theo biến $x$: $R'(x) = 40 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{20}{\sqrt{x}}$.
Tại $x = 16$: $R'(16) = \frac{20}{\sqrt{16}} = \frac{20}{4} = 5$.
👉 Đáp số: 5
Bài tập 4: Một quả bóng thám không hình cầu đang được bơm khí với bán kính $r$ tăng dần theo thời gian. Khi bán kính quả bóng đạt $r = 5\text{ dm}$, tốc độ thay đổi diện tích bề mặt $S$ của quả bóng theo bán kính bằng bao nhiêu $\pi\text{ dm}^2/\text{dm}$? (Điền hệ số trước $\pi$).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Diện tích bề mặt mặt cầu bán kính $r$ là $S(r) = 4\pi r^2$.
Tốc độ thay đổi diện tích theo bán kính: $S'(r) = 8\pi r$.
Tại $r = 5$: $S'(5) = 8\pi \cdot 5 = 40\pi$. Hệ số trước $\pi$ là $40$.
👉 Đáp số: 40
Bài tập 5: Số người theo dõi một tin tức trên mạng xã hội sau $t$ giờ phát tán ($0 \le t \le 10$) được mô tả bởi $N(t) = -t^3 + 12t^2 + 100t$. Tại thời điểm tốc độ lan truyền tin tức đạt giá trị lớn nhất, đã có bao nhiêu giờ trôi qua kể từ khi tin tức bắt đầu phát tán?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
Để lại phản hồi