📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một thiết bị lặn thám hiểm đại dương chuyển động theo phương thẳng đứng để khảo sát đáy biển. Độ sâu của thiết bị (tính bằng mét so với mặt nước biển) sau $t$ phút kể từ lúc bắt đầu lặn được mô hình hóa bởi hàm số: $$h(t) = -t^3 + 9t^2 + 120t \quad (0 \le t \le 14)$$ Hỏi độ sâu lớn nhất mà thiết bị lặn đạt được trong cả hành trình khảo sát này bằng bao nhiêu mét?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất của đại lượng chuyển động (quãng đường, độ cao, vận tốc…) trên đoạn $[a; b]$, ta áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
- Tính đạo hàm $h'(t)$ (chính là vận tốc chuyển động tức thời tại thời điểm $t$).
- Giải phương trình $h'(t) = 0$ tìm các nghiệm $t_i \in [a; b]$.
- Tính giá trị của hàm số tại các mút $h(a)$, $h(b)$ và tại các điểm dừng $h(t_i)$.
- So sánh các giá trị đã tính để kết luận giá trị lớn nhất: $\max_{[a; b]} h(t)$. Bạn đọc có thể xem thêm bài toán khảo sát vận tốc lớn nhất của vật chuyển động.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét hàm số độ sâu $h(t) = -t^3 + 9t^2 + 120t$ xác định và liên tục trên đoạn $[0; 14]$.
Bước 1: Tính đạo hàm
$$h'(t) = -3t^2 + 18t + 120$$Bước 2: Tìm các điểm tới hạn
Cho $h'(t) = 0$ ta có:
$$-3t^2 + 18t + 120 = 0 \iff t^2 – 6t – 40 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} t = 10 \quad (\text{thỏa mãn } 0 \le t \le 14) \\ t = -4 \quad (\text{loại do } t < 0) \end{array}\right.$$Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đặc trưng
- Tại thời điểm bắt đầu lặn ($t = 0$): $h(0) = 0\text{ m}$.
- Tại thời điểm tới hạn ($t = 10$): $$h(10) = -(10)^3 + 9 \cdot (10)^2 + 120 \cdot 10 = -1000 + 900 + 1200 = 1100\text{ (m)}$$
- Tại thời điểm kết thúc ($t = 14$): $$h(14) = -(14)^3 + 9 \cdot (14)^2 + 120 \cdot 14 = -2744 + 1764 + 1680 = 700\text{ (m)}$$
Bước 4: Kết luận
So sánh các giá trị trên, ta có: $\max_{[0; 14]} h(t) = h(10) = 1100\text{ m}$.
Vậy độ sâu lớn nhất mà thiết bị lặn đạt được là $1100\text{ m}$ tại thời điểm $10$ phút sau khi xuất phát.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 1100
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Một quả bóng được đá thẳng đứng lên cao từ độ cao $1\text{ m}$ so với mặt đất. Độ cao $h$ (tính bằng mét) của quả bóng sau $t$ giây kể từ thời điểm đá được cho bởi công thức $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Chiều cao cực đại mà quả bóng đạt được là bao nhiêu mét?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $h'(t) = -10t + 20$. Cho $h'(t) = 0 \iff t = 2$ (giây).
Độ cao cực đại của quả bóng là: $h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21\text{ m}$.
👉 Đáp số: 21
Bài tập 2: Một vật chuyển động thẳng với vận tốc được xác định theo thời gian bởi hàm số $v(t) = -3t^2 + 12t + 15$ ($t$ tính bằng giây, $0 \le t \le 5$, $v$ tính bằng $\text{m/s}$). Tính vận tốc lớn nhất mà vật đạt được trong khoảng thời gian chuyển động đó (theo đơn vị $\text{m/s}$).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $v'(t) = -6t + 12 = 0 \iff t = 2\in [0; 5]$.
Tính các giá trị: $v(0) = 15$, $v(2) = -3(4) + 12(2) + 15 = 27$, $v(5) = 0$.
Vậy vận tốc lớn nhất mà vật đạt được là $27\text{ m/s}$.
👉 Đáp số: 27
Bài tập 3: Một xe mô tô sau khi rời vạch xuất phát chuyển động với phương trình quãng đường $s(t) = –
Để lại phản hồi