📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Trong một đợt bùng phát dịch cúm tại một địa phương, tổng số ca nhiễm bệnh sau $t$ ngày kể từ ngày ghi nhận ca bệnh đầu tiên được mô hình hóa bởi hàm số: $$N(t) = -t^3 + 15t^2 + 20t \quad (0 \le t \le 12)$$ Biết rằng tốc độ lây lan dịch bệnh tại thời điểm $t$ được xác định bởi đạo hàm $v(t) = N'(t)$ (tính bằng số ca nhiễm/ngày). Hỏi tốc độ lây lan dịch bệnh đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ca nhiễm mỗi ngày?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong các bài toán thực tế của giải tích lớp 12, nếu một đại lượng biến thiên theo thời gian $t$ dưới dạng hàm số $y = f(t)$ thì tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng đó tại thời điểm $t$ chính là giá trị của đạo hàm cấp một: $$v(t) = f'(t)$$
- Để tìm thời điểm hoặc giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của tốc độ thay đổi trên đoạn $[a; b]$, ta khảo sát hàm số $v(t) = f'(t)$ bằng cách lập bảng biến thiên hoặc biến đổi đại số tam thức bậc hai.
- Nếu $v(t) = At^2 + Bt + C$ với hệ số $A < 0$, giá trị lớn nhất của $v(t)$ đạt được tại đỉnh của parabol $t = -\frac{B}{2A}$.
Tương tự như bài toán tìm vận tốc lớn nhất của một chuyển động hay khảo sát giá trị lớn nhất của hàm số theo thời gian, việc lấy đạo hàm giúp ta tối ưu hóa các đại lượng thực tiễn một cách chính xác.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định hàm số biểu diễn tốc độ lây lan dịch bệnh
Tốc độ lây lan dịch bệnh tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp một của tổng số ca bệnh $N(t)$: $$v(t) = N'(t) = (-t^3 + 15t^2 + 20t)’ = -3t^2 + 30t + 20 \quad (0 \le t \le 12)$$
Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $v(t)$ trên đoạn $[0; 12]$
Ta xét hàm số $v(t) = -3t^2 + 30t + 20$ trên đoạn $[0; 12]$.
Cách 1: Biến đổi hằng đẳng thức
$$v(t) = -3(t^2 – 10t) + 20 = -3(t^2 – 10t + 25) + 75 + 20 = -3(t – 5)^2 + 95$$
Vì $-3(t – 5)^2 \le 0$ với mọi $t$ nên $v(t) \le 95$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t – 5 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ (thỏa mãn $0 \le t \le 12$).
Cách 2: Khảo sát bằng đạo hàm $v'(t)$
Đạo hàm của $v(t)$ là:
$$v'(t) = -6t + 30$$
Cho $v'(t) = 0 \Leftrightarrow -6t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 5 \in [0; 12]$.
Ta tính các giá trị tại điểm tới hạn và hai đầu mút:
$$\begin{cases} v(0) = 20 \\ v(5) = -3(5)^2 + 30(5) + 20 = 95 \\ v(12) = -3(12)^2 + 30(12) + 20 = -52 \end{cases}$$
Do đó, $\max_{[0; 12]} v(t) = v(5) = 95$.
Kết luận:
Vào ngày thứ $5$ kể từ khi bùng phát, dịch bệnh lây lan với tốc độ nhanh nhất, đạt $95$ ca nhiễm mới mỗi ngày.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 95
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Số lượng vi khuẩn trong một mẻ nuôi cấy sau $t$ giờ được mô tả bởi hàm số $P(t) = -t^3 + 9t^2 + 50t$ với $0 \le t \le 8$. Tốc độ tăng trưởng của mẻ vi khuẩn đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu vi khuẩn mỗi giờ?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tốc độ tăng trưởng là đạo hàm: $v(t) = P'(t) = -3t^2 + 18t + 50$.
Biến đổi: $v(t) = -3(t^2 – 6t) + 50 = -3(t – 3)^2 + 27 + 50 = -3(t – 3)^2 + 77 \le 77$.
Dấu bằng xảy ra tại $t = 3 \in [0; 8]$. Vậy tốc độ tăng trưởng lớn nhất bằng $77$.
👉 Đáp số: 77
Bài tập 2: Lượng nước (tính theo mét khối) xả vào một hồ điều hòa sau $t$ giờ xả lũ được tính theo công thức $V(t) = -2t^3 + 18t^2 + 10t$ ($0 \le t \le 7$). Tốc độ dòng chảy tức thời đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu $\text{m}^3\text{/h}$?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tốc độ dòng chảy tức thời là $v(t) = V'(t) = -6t^2 + 36t + 10$.
Xét $v'(t) = -12t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 3 \in [0; 7]$.
Ta có $v(3) = -6(3)^2 + 36(3) + 10 = -54 + 108 + 10 = 64$. Hai đầu mút $v(0) = 10, v(7) = -32$. Do đó giá trị lớn nhất là $64$.
👉 Đáp số: 64
Bài tập 3: Một xưởng may đo lường tổng số sản phẩm hoàn thành sau $t$ giờ làm việc liên tục trong một ca (với $0 \le t \le 8$) theo hàm số $Q(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 4t^2 + 12t$. Năng suất lao động tức thời $Q'(t)$ của xưởng đạt mức cao nhất bằng bao nhiêu sản phẩm mỗi giờ?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Năng suất lao động tức thời là $p(t) = Q'(t) = -t^2 + 8t + 12$.
Ta có $p(t) = -(t – 4)^2 + 16 + 12 = -(t – 4)^2 + 28 \le 28$.
Dấu bằng xảy ra khi $t = 4 \in [0; 8]$. Năng suất tức thời lớn nhất là $28$ sản phẩm
Để lại phản hồi