📌 Đề bài (Trắc nghiệm Đúng/Sai):
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công bội $q = -3$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ có:
- Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.
- Tổng $n$ số hạng đầu tiên: Khi $q \ne 1$, ta có công thức $S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$.
- Để xác định một số $A$ có phải là số hạng thứ $k$ hay không, giải phương trình $u_1 \cdot q^{k-1} = A$ với $k \in \mathbb{N}^*$.
- Để tìm $n$ khi biết $S_n$, thiết lập phương trình $\frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = S_n$ rồi giải tìm ẩn $n \in \mathbb{N}^*$. Kiến thức này thường gắn liền với dạng bài cấp số nhân có số hạng đầu âm và công bội dương trong đề thi THPT.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Ta có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công bội $q = -3$.
Xét mệnh đề a):
Áp dụng công thức số hạng tổng quát:
$$u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} = u_1 \cdot q^4 = 4 \cdot (-3)^4 = 4 \cdot 81 = 324.$$
Do đó mệnh đề a) ĐÚNG.
Xét mệnh đề b):
Số hạng thứ sáu của cấp số nhân là:
$$u_6 = u_1 \cdot q^{6-1} = u_1 \cdot q^5 = 4 \cdot (-3)^5 = 4 \cdot (-243) = -972.$$
Vậy số $-972$ chính là số hạng thứ sáu $u_6$. Do đó mệnh đề b) ĐÚNG.
Xét mệnh đề c):
Tổng của $6$ số hạng đầu tiên được tính theo công thức tổng của cấp số nhân có công bội âm:
$$S_6 = \frac{u_1(1 – q^6)}{1 – q} = \frac{4 \cdot [1 – (-3)^6]}{1 – (-3)} = \frac{4 \cdot (1 – 729)}{4} = 1 – 729 = -728.$$
Vì $S_6 = -728 \ne 728$ nên mệnh đề c) SAI.
Xét mệnh đề d):
Tổng quát tổng của $n$ số hạng đầu tiên là:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{4 \cdot [1 – (-3)^n]}{1 – (-3)} = \frac{4 \cdot [1 – (-3)^n]}{4} = 1 – (-3)^n.$$
Theo giả thiết $S_n = 2188$, ta có phương trình:
$$1 – (-3)^n = 2188 \iff (-3)^n = 1 – 2188 = -2187.$$
Nhận thấy $-2187 = (-3)^7$, do đó $(-3)^n = (-3)^7 \iff n = 7 \in \mathbb{N}^*$.
Vậy tồn tại số nguyên dương $n = 7$ thỏa mãn $S_7 = 2188$. Do đó mệnh đề d) ĐÚNG.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai 4 ý a, b, c, d)
Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -2$ và công bội $q = -2$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– Ý a: $u_4 = u_1 \cdot q^3 = (-2) \cdot (-2)^3 = (-2) \cdot (-8) = 16$. (Đúng)
– Ý b: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = (-2) \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^n$. (Đúng)
– Ý c: $S_8 = \frac{u_1(1 – q^8)}{1 – q} = \frac{-2(1 – (-2)^8)}{1 – (-2)} = \frac{-2(1 – 256)}{3} = \frac{-2 \cdot (-255)}{3} = 170$. (Đúng)
– Ý d: Xét $S_n = 42 \iff \frac{-2(1 – (-2)^n)}{3} = 42 \iff 1 – (-2)^n = -63 \iff (-2)^n = 64 = (-2)^6 \Rightarrow n = 6 \in \mathbb{N}^*$. Vậy tồn tại $n = 6$, mệnh đề phủ định là Sai. (Sai)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 2: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 6$ và công bội $q = \frac{1}{2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– Ý a: $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. (Đúng)
– Ý b: $u_7 = u_1 \cdot q^6 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$. (Đúng)
– Ý c: $S_5 = \frac{6(1 – (1/2)^5)}{1 – 1/2} = 12 \cdot \left(1 – \frac{1}{32}\right) = 12 \cdot \frac{31}{32} = \frac{93}{8}$. (Đúng)
– Ý d: $S_n = \frac{6(1 – (1/2)^n)}{1 – 1/2} = 12 \cdot (1 – (1/2)^n) = 12 – 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n < 12$ với mọi $n \ge 1$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 1$ và công bội $q = -4$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Ý a: $u_3 = 1 \cdot (-4)^2 = 16$. (Đúng)
– Ý b: $u_6 = 1 \cdot (-4)^5 = -1024 < 0$ (mang dấu âm). (Sai)
– Ý c: $S_4 = \frac{1(1 – (-4)^4)}{1 – (-4)} = \frac{1 – 256}{5} = \frac{-255}{5} = -51$. (Đúng)
– Ý d: $S_5 = \frac{1(1 – (-4)^5)}{1 – (-4)} = \frac{1 – (-1024)}{5} = \frac{1025}{5} = 205$. Đây là phương pháp tính số hạng thứ n và tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân cơ bản. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công bội $q = 2$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Ý a: $u_7 = (-3) \cdot 2^6 = (-3) \cdot 64 = -192$. (Đúng)
– Ý b: Do $u_n = -3 \cdot 2^{n-1}$ và $2^{n-1} > 0$ nên $u_n < 0$ với mọi $n \ge 1$. (Đúng)
– Ý c: $S_5 = \frac{-3(1 – 2^5)}{1 – 2} = \frac{-3(1 – 32)}{-1} = 3 \cdot (-31) = -93$. (Đúng)
– Ý d: Xét $S_n = -381 \iff 3(1 – 2^n) = -381 \iff 1 – 2^n = -127 \iff 2^n = 128 = 2^7 \Rightarrow n = 7 \in \mathbb{N}^*$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công bội $q = 3$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– Ý a: $u_4 = 5 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135$. (Đúng)
– Ý b: $\frac{u_{10}}{u_7} = q^{10 – 7} = q^3 = 3^3 = 27$. (Đúng)
– Ý c: $S_4 = \frac{5(1 – 3^4)}{1 – 3} = \frac{5(1 – 81)}{-2} = \frac{5 \cdot (-80)}{-2} = 200$. (Đúng)
– Ý d: Xét $S_n = 605 \iff \frac{5(3^n – 1)}{2} = 605 \iff 3^n – 1 = 242 \iff 3^n = 243 = 3^5 \Rightarrow n = 5 \in \mathbb{N}^*$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Để lại phản hồi