📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Tổng chi phí sản xuất $x$ thiết bị điện tử (đơn vị: chiếc, $x > 0$) của một nhà máy được mô hình hóa bởi hàm số $C(x) = 2x^2 + 45x + 5000$ (nghìn đồng). Chi phí sản xuất trung bình cho mỗi thiết bị là $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$ (nghìn đồng/chiếc). Khi số lượng thiết bị sản xuất rất lớn, đồ thị hàm số $\bar{C}(x)$ có đường tiệm cận xiên dạng $y = ax + b$. Giá trị của biểu thức $a + b$ bằng bao nhiêu?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Ý nghĩa kinh tế của tiệm cận: Trong kinh tế học, khi sản lượng $x \to +\infty$, hàm chi phí trung bình $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$ thường tiệm cận tới một đường thẳng (tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên của đồ thị hàm số), thể hiện chi phí biến đổi biên và xu hướng dài hạn của chi phí sản xuất.
- Định nghĩa đường tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu: $$\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0$$
- Cách tìm $a, b$ đối với hàm phân thức hữu tỉ: Nếu $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ với bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị, ta thực hiện chia đa thức: $$f(x) = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)} \quad \text{với } \lim_{x \to +\infty} \frac{R(x)}{Q(x)} = 0$$ Khi đó đường thẳng $y = ax + b$ chính là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Thiết lập hàm chi phí sản xuất trung bình $\bar{C}(x)$
Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm khi nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm ($x > 0$) là:
$$\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{2x^2 + 45x + 5000}{x}$$Bước 2: Tách biểu thức để tìm phương trình tiệm cận xiên
Chia từng hạng tử ở tử số cho mẫu số $x$, ta được:
$$\bar{C}(x) = 2x + 45 + \frac{5000}{x}$$Bước 3: Xác định các hệ số $a$ và $b$ của đường tiệm cận xiên
Xét giới hạn khi $x \to +\infty$:
$$\lim_{x \to +\infty} [\bar{C}(x) – (2x + 45)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{5000}{x} = 0$$Do đó, đường thẳng $y = 2x + 45$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $\bar{C}(x)$.
Đồng nhất với phương trình $y = ax + b$, ta suy ra: $a = 2$ và $b = 45$.
Bước 4: Tính giá trị biểu thức $a + b$
$$a + b = 2 + 45 = 47$$👉 Đáp số (kết quả điền số): 47
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Trong một phòng thí nghiệm y học, sau khi tiêm một liều thuốc kháng sinh vào cơ thể bệnh nhân, nồng độ thuốc trong máu (đơn vị: $\text{mg/lít}$) sau $t$ giờ ($t \ge 0$) được xác định theo mô hình $C(t) = \frac{80t + 25}{2t + 5}$. Khi thời gian $t$ kéo dài ($t \to +\infty$), nồng độ thuốc trong máu tiến dần tới giá trị bão hòa bằng bao nhiêu $\text{mg/lít}$?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Giá trị bão hòa của nồng độ thuốc khi $t \to +\infty$ chính là giá trị tiệm cận ngang của hàm số $C(t)$:
$$\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{80t + 25}{2t + 5} = \lim_{t \to +\infty} \frac{80 + \frac{25}{t}}{2 + \frac{5}{t}} = \frac{80}{2} = 40$$👉 Đáp số: 40
Bài tập 2: Một doanh nghiệp sản xuất gốm sứ có hàm tổng chi phí để sản xuất $x$ kiện hàng ($x > 0$) là $C(x) = 3x^2 + 50x + 1200$ (triệu đồng). Hàm chi phí trung bình để sản xuất mỗi kiện hàng là $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$. Đồ thị hàm số $\bar{C}(x)$ có đường tiệm cận xiên là $y = ax + b$. Tính giá trị của biểu thức $a + b$.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hàm chi phí trung bình là: $\bar{C}(x) = \frac{3x^2 + 50x + 1200}{x} = 3x + 50 + \frac{1200}{x}$.
Vì $\lim_{x \to +\infty} [\bar{C}(x) – (3x + 50)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1200}{x} = 0$ nên tiệm cận xiên là đường thẳng $y = 3x + 50$.
Suy ra $a = 3, b = 50$. Do đó $a + b = 3 + 50 = 53$.
👉 Đáp số: 53
Bài tập 3: Hiệu suất lọc các hạt bụi siêu mịn của một hệ thống xử lý khí thải công nghiệp sau $x$ ngày hoạt động ($x \ge 0$) được tính bởi công thức $H(x) = \frac{98x + 120}{x + 2}$ (đơn vị: %). Tương tự bài toán về ngưỡng cân bằng sinh thái, khi thời gian hoạt động kéo dài vô hạn ($x \to +\infty$), hiệu suất lọc của hệ thống tiến dần tới một giá trị ổn định bằng bao nhiêu %?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Khi thời gian $x \to +\infty$, hiệu suất ổn định của hệ thống lọc là tiệm cận ngang của hàm số $H(x)$:
$$\lim_{x \to +\infty} H(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{98x + 120}{x + 2} = 98$$👉 Đáp số: 98
Bài tập 4: Một xưởng cơ khí chế tạo $x$ chi tiết máy ($x > 0$) với tổng chi phí sản xuất được tính bằng công thức $C(x) = x^2 + 32x + 625$ (nghìn đồng). Hàm chi phí trung bình để chế tạo mỗi chi tiết máy là $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$. Đồ thị hàm số $\bar{C}(x)$ có đường tiệm cận xiên dạng $y = ax + b$. Tính giá trị của biểu thức $3a + 2b$.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
Để lại phản hồi