📌 Đề bài:
Hằng ngày, mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước ở thời điểm $t$ (giờ tính từ nửa đêm, với $0 \le t \le 24$) được mô hình hóa bởi hàm số lượng giác: $$h(t) = 6 + 3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$$ Hỏi trong khoảng thời gian một ngày ($0 \le t \le 24$), mực nước tại cảng đạt độ sâu $7{,}5\text{ m}$ tại những thời điểm nào?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Phương trình lượng giác cơ bản: $$\cos X = \cos \alpha \iff \left[\begin{array}{l} X = \alpha + k2\pi \\ X = -\alpha + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$
- Các bước giải bài toán thực tế:
- Thiết lập phương trình: Thay giá trị $h(t) = 7{,}5$ vào hàm số đã cho.
- Đưa về phương trình lượng giác cơ bản đối với $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$.
- Tìm nghiệm tổng quát theo ẩn $t$ (chứa tham số $k \in \mathbb{Z}$).
- Chặn điều kiện miền thời gian thực tế $0 \le t \le 24$ để xác định các giá trị nguyên $k$ phù hợp.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Để mực nước tại cảng đạt độ sâu $7{,}5\text{ m}$, ta giải phương trình:
$$h(t) = 7{,}5 \iff 6 + 3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 7{,}5$$ $$\iff 3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 1{,}5$$ $$\iff \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = \frac{1}{2}$$Vì $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ nên ta có hai họ nghiệm:
$$\left[\begin{array}{l} \dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\[8pt] \dfrac{\pi t}{6} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} t = 2 + 12k \\[6pt] t = -2 + 12k \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$Xét điều kiện $0 \le t \le 24$:
- Với họ nghiệm $t = 2 + 12k$:
$$0 \le 2 + 12k \le 24 \iff -\frac{2}{12} \le k \le \frac{22}{12} \implies k \in \{0; 1\}$$
- Với $k = 0 \implies t = 2$ (giờ) tức 2 giờ sáng.
- Với $k = 1 \implies t = 14$ (giờ) tức 2 giờ chiều (14:00).
- Với họ nghiệm $t = -2 + 12k$:
$$0 \le -2 + 12k \le 24 \iff \frac{2}{12} \le k \le \frac{26}{12} \implies k \in \{1; 2\}$$
- Với $k = 1 \implies t = 10$ (giờ) tức 10 giờ sáng.
- Với $k = 2 \implies t = 22$ (giờ) tức 10 giờ tối (22:00).
Như vậy, trong khoảng thời gian một ngày ($0 \le t \le 24$), mực nước tại cảng đạt độ sâu $7{,}5\text{ m}$ tại 4 thời điểm: $t = 2\text{ h}$, $t = 10\text{ h}$, $t = 14\text{ h}$ và $t = 22\text{ h}$.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B ($t = 2\text{ h}$, $t = 10\text{ h}$, $t = 14\text{ h}$, $t = 22\text{ h}$)
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Nhiệt độ $T$ ($^\circ\text{C}$) tại một thành phố trong một ngày được mô hình bởi hàm số $T(t) = 22 + 6\sin\left(\frac{\pi t}{12} – \frac{\pi}{2}\right)$, với $t$ là số giờ tính từ 0 giờ ($0 \le t \le 24$). Tìm thời điểm trong ngày nhiệt độ đạt giá trị cao nhất.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Nhiệt độ cao nhất đạt được khi $\sin\left(\frac{\pi t}{12} – \frac{\pi}{2}\right) = 1 \iff \frac{\pi t}{12} – \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \iff \frac{\pi t}{12} = \pi + k2\pi \iff t = 12 + 24k$.
Do $0 \le t \le 24$ nên chọn $k = 0 \implies t = 12$ (giờ).
Đáp số: Nhiệt độ cao nhất là $28^\circ\text{C}$ vào lúc 12 giờ trưa ($t = 12$).
Bài tập 2: Mực nước của một con kênh theo thời gian $t$ (giờ, $0 \le t \le 12$) được cho bởi $h(t) = 5 – 2\cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\text{ (m)}$. Trong 12 giờ đầu tiên, mực nước đạt $6\text{ m}$ tại những thời điểm nào?
Để lại phản hồi