Một cánh quạt của tuabin gió có chiều dài $40\text{ m}$ quay đều theo chiều kim đồng hồ với tốc độ $18\text{ vòng/phút}$. Tính số đo của góc lượng giác (theo radian) mà cánh quạt quét được sau $25\text{ giây}$ và độ dài quãng đường đầu mút cánh quạt vạch nên trong thời gian đó

Thời gian $t = 45\text{ s} = \frac{3}{4}\text{ phút}$.

Số vòng quay: $N = 40 \cdot \frac{3}{4} = 30\text{ vòng}$.

Vì quay ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương): $\alpha = +30 \cdot 2\pi = 60\pi\text{ rad}$.

Chiều dài dây cáp được kéo lên: $s = R \cdot |\alpha| = 15 \cdot 60\pi = 900\pi\text{ cm} = 9\pi\text{ m} \approx 28{,}27\text{ m}$.

Độ lớn góc quét được: $|\alpha| = \omega \cdot t = \frac{\pi}{3} \cdot 20 = \frac{20\pi}{3}\text{ rad}$.

Vì quay cùng chiều kim đồng hồ nên góc lượng giác mang dấu âm: $\alpha = -\frac{20\pi}{3}\text{ rad}$.

Số vòng quay được: $N = \frac{|\alpha|}{2\pi} = \frac{20\pi/3}{2\pi} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\text{ vòng}$.

Bán kính quỹ đạo tròn của vệ tinh tính từ tâm Trái Đất: $R = R_0 + h = 6371 + 35786 = 42157\text{ km}$.

Quãng đường vệ tinh di chuyển là độ dài cung tròn: $$s = R \cdot \alpha = 42157 \cdot \frac{5\pi}{6} \approx 110368{,}2\text{ km}$$

Khoảng thời gian: $\Delta t = 60 + 40 – 15 = 85\text{ giây}$.

Kim giây quay $1$ vòng ($2\pi\text{ rad}$) trong $60\text{ giây}$ theo chiều kim đồng hồ, nên tốc độ góc là $\omega = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\text{ rad/s}$.

Góc lượng giác: $\alpha = -\,\omega \cdot \Delta t = -\,\frac{\pi}{30} \cdot 85 = -\,\frac{17\pi}{6}\text{ rad}$.

Quãng đường đầu kim vạch nên: $s = R \cdot |\alpha| = 10 \cdot \frac{17\pi}{6} = \frac{85\pi}{3} \approx 89{,}01\text{ cm}$. Đọc thêm dạng bài toán về kim đồng hồ tại chuyển động quay của kim phút đồng hồ.

Bán kính vô lăng: $R = \frac{38}{2} = 19\text{ cm}$.

Góc lượng giác theo radian: $\alpha = +\,135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}\text{ rad}$.

Quãng đường điểm trên vành vô lăng dịch chuyển: $$s = R \cdot \alpha = 19 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{57\pi}{4} \approx 44{,}77\text{ cm}$$