Chào các em, đây là một bài toán thực tế rất hay và điển hình của chương trình Toán THPT phần Xác suất thống kê. Bài toán yêu cầu chúng ta vận dụng linh hoạt Công thức xác suất toàn phần và Định lý Bayes để đánh giá tính đúng/sai của các mệnh đề.
1. Phân tích đề bài và gọi các biến cố
Theo giả thiết, ta gọi:
- Biến cố $B$: ‘Người xét nghiệm mắc bệnh’. Theo đề bài, tỉ lệ mắc bệnh của vùng dân cư là 5%, suy ra $P(B) = 0,05$. Từ đó, xác suất người không mắc bệnh là $P(\overline{B}) = 1 – 0,05 = 0,95$.
- Biến cố $D$: ‘Kết quả xét nghiệm là dương tính’. Khi đó, $\overline{D}$ là biến cố ‘Kết quả xét nghiệm là âm tính’.
Các dữ kiện đã cho bao gồm:
- Tỉ lệ dương tính giả (xét nghiệm dương tính nhưng không mắc bệnh): $P(D|\overline{B}) = 5\% = 0,05$.
- Tỉ lệ âm tính giả (xét nghiệm âm tính nhưng thực tế mắc bệnh): $P(\overline{D}|B) = 13\% = 0,13$.
Từ đó ta suy ra các xác suất bổ sung:
- Xác suất dương tính thật (xét nghiệm dương tính và thực tế mắc bệnh): $P(D|B) = 1 – P(\overline{D}|B) = 1 – 0,13 = 0,87$.
- Xác suất âm tính thật (xét nghiệm âm tính và thực tế không mắc bệnh): $P(\overline{D}|\overline{B}) = 1 – P(D|\overline{B}) = 1 – 0,05 = 0,95$.
2. Giải quyết từng mệnh đề
Mệnh đề a) Xác suất dương tính thật bằng 95%.
Theo phân tích ở trên, xác suất dương tính thật là $P(D|B) = 0,87$ (tức 87%). Do đó, mệnh đề a) là SAI.
Mệnh đề b) Xác suất xét nghiệm RT-PCR có kết quả dương tính là 9,1%.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để một người có kết quả xét nghiệm dương tính là:
$$P(D) = P(B) \cdot P(D|B) + P(\overline{B}) \cdot P(D|\overline{B})$$
$$P(D) = 0,05 \cdot 0,87 + 0,95 \cdot 0,05 = 0,0435 + 0,0475 = 0,091$$
Đổi ra phần trăm, $0,091 = 9,1\%$. Vậy mệnh đề b) là ĐÚNG.
Mệnh đề c) Xác suất người nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR dương tính lớn hơn 50%.
Đây là xác suất có điều kiện $P(B|D)$. Áp dụng định lý Bayes, ta có:
$$P(B|D) = \frac{P(B) \cdot P(D|B)}{P(D)} = \frac{0,0435}{0,091} \approx 0,478$$
Đổi ra phần trăm, $0,478 = 47,8\%$. Vì $47,8\% < 50\%$ nên mệnh đề c) là SAI.
Mệnh đề d) Xác suất người không nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR âm tính nhỏ hơn 90,9%.
Ta cần tính xác suất $P(\overline{B}|\overline{D})$. Trước tiên, xác suất xét nghiệm âm tính là:
$$P(\overline{D}) = 1 – P(D) = 1 – 0,091 = 0,909$$
Áp dụng định lý Bayes, ta có:
$$P(\overline{B}|\overline{D}) = \frac{P(\overline{B}) \cdot P(\overline{D}|\overline{B})}{P(\overline{D})} = \frac{0,95 \cdot 0,95}{0,909} = \frac{0,9025}{0,909} \approx 0,9928$$
Đổi ra phần trăm, $0,9928 = 99,28\%$. Vì $99,28\% > 90,9\%$ nên mệnh đề d) là SAI.
3. Kết luận
- Mệnh đề a: Sai
- Mệnh đề b: Đúng
- Mệnh đề c: Sai
- Mệnh đề d: Sai
4. Bài tập làm thêm
Để nắm vững hơn về công thức Bayes và xác suất toàn phần, các em hãy tự luyện tập với bài toán tương tự sau nhé:
Bài toán: Trong một đợt tầm soát bệnh X, người ta sử dụng một loại test nhanh. Biết tỉ lệ mắc bệnh X trong cộng đồng là 2%. Test nhanh có tỉ lệ dương tính giả là 4% và tỉ lệ âm tính giả là 10%. Hãy tính:
1. Xác suất để một người bất kỳ trong cộng đồng có kết quả test nhanh dương tính.
2. Nếu một người có kết quả test nhanh dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh là bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Gọi $B$ là biến cố ‘Người mắc bệnh’ $\Rightarrow P(B) = 0,02 \Rightarrow P(\overline{B}) = 0,98$.
Gọi $D$ là biến cố ‘Test dương tính’ $\Rightarrow P(D|\overline{B}) = 0,04$ (dương tính giả) và $P(\overline{D}|B) = 0,10$ (âm tính giả) $\Rightarrow P(D|B) = 0,90$.
Câu 1: Xác suất test dương tính (Xác suất toàn phần):
$$P(D) = P(B)P(D|B) + P(\overline{B})P(D|\overline{B}) = 0,02 \cdot 0,90 + 0,98 \cdot 0,04 = 0,018 + 0,0392 = 0,0572 = 5,72\%$$
Câu 2: Xác suất thực sự mắc bệnh khi test dương tính (Định lý Bayes):
$$P(B|D) = \frac{P(B)P(D|B)}{P(D)} = \frac{0,018}{0,0572} \approx 0,3147 = 31,47\%$$
Để lại phản hồi