Giả sử tăng cân nặng ( tính bằng $kg$ ) của một giống vật nuôi ( trong vòng một số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{150}{1+3{{e}^{-t}}},\ \ t\ge 0$
Trong đó thời gian $t$ được tính bằng tháng kể từ khi vật nuôi đó bắt đầu sinh ra

Giả sử tăng cân nặng ( tính bằng $kg$ ) của một giống vật nuôi ( trong vòng một số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{150}{1+3{{e}^{-t}}},\ \ t\ge 0$
Trong đó thời gian $t$ được tính bằng tháng kể từ khi vật nuôi đó bắt đầu sinh ra. Khi đó đạo hàm ${f}’\left( t \right)$ sẽ biểu thị tốc độ tăng cân nặng của loài cây đó. Hỏi sau khi vật nuôi sinh ra thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng cân nặng của vật nuôi là nhanh nhất?
Đáp án: 1,09

Lời giải: Ta có: $f\left( t \right)=\dfrac{200}{1+3{{e}^{-t}}}\Rightarrow {f}’\left( t \right)=150.\dfrac{-3.{{e}^{-t}}.\left( -1 \right)}{{{\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)}^{2}}}=150.\dfrac{3.{{e}^{-t}}}{{{\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)}^{2}}}$
${{f}’}’\left( t \right)=150.\dfrac{-3{{e}^{-t}}{{\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)}^{2}}-2\left( 1+3{{e}^{-t}} \right).\left( -3{{e}^{-t}} \right).3{{e}^{-t}}}{{{\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)}^{4}}}$ $=150.\dfrac{-3{{e}^{-t}}.\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)\left( 1+3{{e}^{-t}}-6{{e}^{-t}} \right)}{{{\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)}^{4}}}$
$=150.\dfrac{-3{{e}^{-t}}.\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)\left( 1-3{{e}^{-t}} \right)}{{{\left( 1+3{{e}^{-t}} \right)}^{4}}}$ $\Rightarrow {{f}’}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{e}^{-t}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow t=-\ln \left( \dfrac{1}{3} \right)=\ln 33\approx 1,09$

Vậy sau khi sinh khoảng $\ln 3\approx 1,09$ tháng thì vật nuôi có tốc độ tăng cân nhanh nhất.