Giả sử doanh số (tính bằng sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số:
$f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+21{{t}^{2}}+6t-\left( 6t+42 \right)\ln t$ với $t\ge 0$

Giả sử doanh số (tính bằng sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số:
$f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+21{{t}^{2}}+6t-\left( 6t+42 \right)\ln t$ với $t\ge 0$.
Trong đó thời gian $t$ tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó đạo hàm $f’\left( t \right)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Đáp án: 7

Lời giải: Ta có: ${f}’\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+42t+6-\left( 6\ln t+\dfrac{6t+42}{t} \right)$ $=-3{{t}^{2}}+42t-6\ln t-\dfrac{42}{t}$.
Xét hàm số $h\left( t \right)={f}’\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+42t-6\ln t-\dfrac{42}{t}$ trên miền $t\ge 0$
Ta có: ${h}’\left( t \right)=\dfrac{-6{{t}^{3}}+42{{t}^{2}}-6t+42}{{{t}^{2}}}$.
Ta có: ${h}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow -6{{t}^{3}}+42{{t}^{2}}-6t+42=0\Leftrightarrow t=7$.
Bảng biến thiên:

Vì t (năm) là số nguyên dương. Vậy ta chọn $t=7$.
Vậy sau khi phát hành 7 năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.