Bài toán gốc
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{25}{x}$ trên $[2;8]$ bằng
A. $\dfrac{89}{8}$.
B. $10$.
C. $-20$.
D. $\dfrac{29}{2}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn kín (khoảng đóng). Phương pháp giải chuẩn là sử dụng đạo hàm:
1. Tính đạo hàm $f'(x)$.
2. Tìm các điểm cực trị $x_0$ thuộc đoạn $[a; b]$ bằng cách giải $f'(x)=0$.
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị vừa tìm được và tại hai mút $f(a), f(b)$.
4. Giá trị nhỏ nhất (GNN) là số bé nhất trong các giá trị đã tính.
(Lưu ý: Đối với dạng $f(x) = x + A/x$ với $x>0$, có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) để nhanh chóng tìm ra GNN nếu điểm cực trị thỏa mãn điều kiện của đoạn đã cho.)
Bài toán tương tự
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{16}{x}$ trên đoạn $[1;6]$ bằng bao nhiêu?
Đáp án: $8$.
Lời giải ngắn gọn:
1. Xét hàm số $f(x) = x + \dfrac{16}{x}$ trên đoạn $[1; 6]$.
2. Tính đạo hàm: $f'(x) = 1 – \dfrac{16}{x^2}$.
3. Cho $f'(x) = 0 \implies x^2 = 16$. Do $x \in [1; 6]$ nên ta nhận nghiệm $x=4$.
4. Tính giá trị tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:
$f(1) = 1 + \dfrac{16}{1} = 17$.
$f(4) = 4 + \dfrac{16}{4} = 8$.
$f(6) = 6 + \dfrac{16}{6} = 6 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{26}{3} \approx 8.67$.
5. So sánh các giá trị, ta có giá trị nhỏ nhất là $\min f(x) = 8$.