Một nhà máy có hai phân xưởng $A$ và $B$ tương ứng làm ra 60% và 40% sản phẩm của nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng A và B lần lượt là 1% và 2%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy

Bài toán:  Một nhà máy có hai phân xưởng $A$ và $B$ tương ứng làm ra $60\\%$ và $40\\%$ sản phẩm của nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng A và B lần lượt là $1\\%$ và $2\\%$. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy.
a) Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng A thì xác suất để nó không là phế phẩm là 0,98 .
b) Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm và thuộc phân xưởng A là 0,006 .
c) Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm là 0,014 .
d) Nếu sản phẩm chọn ra là phế phẩm thì xác suất để nó thuộc phân xưởng A là $\dfrac{4}{7}$.

Lời giải

Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố chọn được sản phẩm thuộc phân xưởng $A,B$. Ta có $P\left(A\right)=0,6$; $P\left(B\right)=0,4$

Gọi $P$ là biến cố chọn phải một sản phẩm là phế phẩm.
Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng $A$ là $1\\% \Rightarrow P\left(P\mid A\right)=0,01$.
Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng $B$ là $2\\%\Rightarrow P\left(P\mid B\right)=0,02$.
a) Sai: Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng $A$ thì xác suất để nó không là phế phẩm là .
b) Đúng: Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm và thuộc phân xưởng $A$ là $P\left(A\cap P\right)=P\left(A\right).P\left(P\mid A\right)=0,6.0,01=0,006$.
c) Đúng: Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm là tổng xác suất chọn được phế phẩm từ phân xưởng $A$ và từ phân xưởng $B:P\left(P\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(P\mid A\right)+P\left(B\right)\cdot P\left(P\mid B\right)=0,6\cdot 0,01+0,4\cdot 0,02=0,014$
d) Sai: Áp dụng công thức Bayes

Nếu sản phẩm chọn ra là phế phẩm thì xác suất để nó thuộc phân xưởng $A$ là $P\left(A\mid P\right)=\dfrac{P\left(A\cap P\right)}{P\left(P\right)}=\dfrac{0,006}{0,014}=\dfrac{3}{7}$.