[4] Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;\,3;\, – 5} \right)\), \(B\left( {1;\,1;\, – 5} \right)\), \(C\left( {4;\,3;\, – 1} \right)\) và mặt cầu\(\left( {{S_m}} \right):\) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \left( {m – 2} \right)x + 4y + \left( {m – 2} \right)z – 3 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(\left( T \right)\) là tập hợp các điểm cố định mà mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) luôn đi qua với mọi số thực \(m\) và \(M\) là một điểm di động trên \(\left( T \right)\) sao cho thể tích tứ diện \(MABC\) đạt giá trị lớn nhất \({V_{\max }}\). Giá trị \({V_{\max }}\) bằng

[4] Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;\,3;\, – 5} \right)\), \(B\left( {1;\,1;\, – 5} \right)\), \(C\left( {4;\,3;\, – 1} \right)\) và mặt cầu\(\left( {{S_m}} \right):\) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \left( {m – 2} \right)x + 4y + \left( {m – 2} \right)z – 3 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(\left( T \right)\) là tập hợp các điểm cố định mà mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) luôn đi qua với mọi số thực \(m\) và \(M\) là một điểm di động trên \(\left( T \right)\) sao cho thể tích tứ diện \(MABC\) đạt giá trị lớn nhất \({V_{\max }}\). Giá trị \({V_{\max }}\) bằng

A. \({V_{\max }} = \sqrt 7 + 8\).

B. \({V_{\max }} = 2\sqrt 7 + 10\).

C. \({V_{\max }} = 2\sqrt 7 + 5\).

D. \({V_{\max }} = 2\sqrt 7 + 8\).

Lời giải:

Xét \(M\left( {x;\,y;\,z} \right)\) là điểm mà \(\left( {{S_m}} \right)\) luôn đi qua với mọi số thực \(m\) khi đó ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \left( {m – 2} \right)x + 4y + \left( {m – 2} \right)z – 3 = 0\), \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m\left( {x + z} \right) + {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 2z – 3 = 0\), \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + z = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 2z – 3 = 0\end{array} \right.\).

Vậy tập hợp điểm \(M\)là đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + z = 0\) và mặt cầu có tâm \(I\left( {1;\, – 2;\,1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Mặt khác \(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \). Vì vậy đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính là \(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right)} = \sqrt 7 \)và tâm \(J\left( {0;\, – 2;\,0} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)có phương trình là \(2x + y – 2z – 13 = 0\). Dễ thấy (ABC) vuông góc với (P). \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;\, – 2;\,0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {4;\,0;\,4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { – 8;\, – 4;\,8} \right) \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\sqrt {64 + 16 + 64} = 6\).

Thể tích tứ diện \(MABC\) là \({V_{MABC}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = 2d\left( {M,\,\left( {ABC} \right)} \right)\).

Thể tích này lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {M,\,\left( {ABC} \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Mà \(d{\left( {M,\,\left( {ABC} \right)} \right)_{\max }} = r + d\left( {J,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 7 + \frac{{\left| { – 2 – 13} \right|}}{3} = \sqrt 7 + 5\).

Vậy \({V_{\max }} = 2\sqrt 7 + 10\).

=========== Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024