Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(OABC\), với \(A\left( {3;0} \right),\,B\left( {3;3} \right),\,C\left( {0;3} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = k{x^n}\) (với \(k\) là số thực dương và \(n\) là số nguyên dương) chia hình vuông \(OABC\) thành hai miền \({S_1},\,{S_2}\) như hình vẽ. Khi quay hai miền \({S_1},\,{S_2}\) xung quanh trục hoành lần lượt tạo thành hai khối tròn xoay có thể tích là \({V_1},\,{V_2}\).

Biết \({V_1} = 6{V_2}\)và đặt \(T = 2023n – 2024k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(OABC\), với \(A\left( {3;0} \right),\,B\left( {3;3} \right),\,C\left( {0;3} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = k{x^n}\) (với \(k\) là số thực dương và \(n\) là số nguyên dương) chia hình vuông \(OABC\) thành hai miền \({S_1},\,{S_2}\) như hình vẽ. Khi quay hai miền \({S_1},\,{S_2}\) xung quanh trục hoành lần lượt tạo thành hai khối tròn xoay có thể tích là \({V_1},\,{V_2}\).

Biết \({V_1} = 6{V_2}\)và đặt \(T = 2023n – 2024k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(T \in \left( {2023;2024} \right)\).

B. \(T \in \left( {27;28} \right)\).

C. \(T \in \left( {185;186} \right)\).

D. \(T \in \left( {5844;5845} \right)\).

Lời giải:

Đường thẳng \(BC\) có phương trình là \(y = 3\).

Khi quay hình vuông \(OABC\) xung quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích là

\(V = \pi \int\limits_0^3 {{3^2}} {\rm{d}}x = 27\pi \) (đvtt).

Suy ra \({V_1} + {V_2} = 27\pi \).

Mà \({V_1} = 6{V_2}\) nên \(7{V_2} = 27\pi \Rightarrow {V_2} = \frac{{27}}{7}\pi \) (đvtt).

Ta lại có \({V_2} = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {k{x^n}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^3 {{k^2}{x^{2n}}\,{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\pi {k^2}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}} \right|_0^3 = \frac{{\pi {k^2} \cdot {3^{2n + 1}}}}{{2n + 1}} = \frac{{\pi {k^2} \cdot {3^{2n}} \cdot 3}}{{2n + 1}} = \frac{{\pi {{\left( {k \cdot {3^n}} \right)}^2} \cdot 3}}{{2n + 1}}\).

Hay \(\frac{{\pi {{\left( {k \cdot {3^n}} \right)}^2} \cdot 3}}{{2n + 1}} = \frac{{27}}{7}\pi \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {k \cdot {3^n}} \right)}^2}}}{{2n + 1}} = \frac{9}{7}\) (*)

Mặt khác đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(B\left( {3;3} \right)\) nên suy ra \(3 = k \cdot {3^n}\).

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow \frac{9}{{2n + 1}} = \frac{9}{7} \Leftrightarrow 2n + 1 = 7 \Leftrightarrow n = 3\). Suy ra \(k = \frac{3}{{{3^3}}} = \frac{1}{9}\).

Và \(T = 2023n – 2024k = 2023 \cdot 3 – 2024 \cdot \frac{1}{9} = \frac{{52597}}{9} \approx 5844,11\).

=========== Tương tự Câu 48 ỨNG DỤNG Tích Phân – THỂ TÍCH – Vận dụng CAO – Toán TK 2024