Cho hàm số $y=\frac{1}{3} m x^{3}-(m-1) x^{2}+3(m-2) x+2023$ với $m$ là tham số. Tìm m để hàm số có 2 cực trị

Cho hàm số $y=\frac{1}{3} m x^{3}-(m-1) x^{2}+3(m-2) x+2023$ với $m$ là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}+2 x_{2}=1$ bằng
A. $\frac{25}{4}$.
B. $\frac{22}{9}$.
C. $\frac{8}{3}$.
D. $\frac{40}{9}$.

LỜI GIẢI

Ta có $y^{\prime}=m x^{2}-2(m-1) x+3(m-2)$.

Để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}+2 x_{2}=1$ thì $\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}>0 \\ x_{1}+2 x_{2}=1\end{array}\right.$.

Ta có (1) $\Leftrightarrow-2 m^{2}+4 m+1 > 0 \Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{6}}{2} < m < \frac{2+\sqrt{6}}{2}$. Mặt khác ta có $x_{1}+x_{2}=\frac{2(m-1)}{m}$ Từ (2) và (3) ta có $x_{2}=\frac{2-m}{m}$. Vì $y^{\prime}\left(x_{2}\right)=0 \Leftrightarrow m\left(\frac{2-m}{m}\right)^{2}-2(m-1) \cdot \frac{2-m}{m}+3 m-6=0 \Leftrightarrow 3 m^{2}-8 m+4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=\frac{2}{3}\end{array}\right.$ Các giá trị $m$ này thỏa mãn $(*)$. Vậy tổng bình phương các giá trị của $m$ là $2^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$.