Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2023\) và \({\log _3}\left( {9x + 18} \right) + x = 3y + {27^y}.\)

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2023\) và \({\log _3}\left( {9x + 18} \right) + x = 3y + {27^y}.\)

A. 2023.

B. 2024.

C. 0.

D. 2.

Lời giải:

Ta có \({\log _3}\left( {9x + 18} \right) + x = 3y + {3^{3y}} \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {9\left( {x + 2} \right)} \right] + x = 3y + {3^{3y}}\)

\( \Leftrightarrow 2 + {\log _3}\left( {x + 2} \right) + x = 3y + {3^{3y}} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + x + 2 = 3y + {3^{3y}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \({\log _3}\left( {x + 2} \right) = t\)

\( \Rightarrow x + 2 = {3^t}\) nên trở thành \(t + {3^t} = 3y + {3^{3y}}.\)

Xét hàm \(f\left( u \right) = u + {3^u}\left( {u > 0} \right)\)

Ta có: \(f’\left( u \right) = 1 + {3^u}\ln 3 > 0,\forall u > 0 \Rightarrow f\left( u \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Vì vậy, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_3}\left( {x + 2} \right)} \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3y \Leftrightarrow x + 2 = {3^{3y}} \Leftrightarrow x = {3^{3y}} – 2\)

Theo giả thiết, \(0 \le x \le 2023 \Leftrightarrow 0 \le {3^{3y}} – 2 \le 2023 \Leftrightarrow 2 \le {27^y} \le 2025 \Leftrightarrow {\log _{27}}2 \le y \le {\log _{27}}2025\)

Vì y nguyên nên \(y \in \left\{ {1,2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {25,727} \right\}.\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.