Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 2}}{{2m}} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 3}}{{ – 3}}\) và đường thẳng \({d_2}\):\(\frac{{x – 3}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\) . Biết rằng tồn tại một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(6x + by + cz + d = 0\) chứa đồng thời cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Giá trị của biểu thức \(T = {b^2} + {c^2} + {d^2}\) bằng:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 2}}{{2m}} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 3}}{{ – 3}}\) và đường thẳng \({d_2}\):\(\frac{{x – 3}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\) . Biết rằng tồn tại một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(6x + by + cz + d = 0\) chứa đồng thời cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Giá trị của biểu thức \(T = {b^2} + {c^2} + {d^2}\) bằng:
A. \(232\).

B. \(368\).

C. \(454\).

D. \(184\).

Lời giải:

Phương trình tham số của hai đường thẳng là: \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2m{t_1}\\y = 3{t_1}\\z = 3 – 3{t_1}\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2{t_2}\\y = 3{t_2}\\z = 1 – 2{t_2}\end{array} \right.\).

Dễ dàng nhận thấy, hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) không song song và không trùng nhau. Để tồn tại một mặt phẳng chứa đồng thời cả hai đường thẳng thì hai đường thẳng này phải cắt nhau tại một điểm, khi đó hệ phương trình giao điểm phải có nghiệm duy nhất.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 + 2m{t_1} = 3 + 2{t_2}\\3{t_1} = 3{t_2}\\3 – 3{t_1} = 1 – 2{t_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m{t_1} = 1 + 2{t_2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{t_1} = {t_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\3{t_1} – 2{t_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\).

Từ phương trình \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \({t_1} = {t_2} = 2\) thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta được:

\(2m{t_1} = 1 + 2{t_2} \Leftrightarrow m = \frac{{1 + 2{t_2}}}{{2{t_1}}} = \frac{5}{4}\).

Khi đó, hai đường thẳng đã cho là: \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \frac{5}{2}{t_1}\\y = 3{t_1}\\z = 3 – 3{t_1}\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2{t_2}\\y = 3{t_2}\\z = 1 – 2{t_2}\end{array} \right.\).

Suy ra: \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {\frac{5}{2}\,;\,3\,;\, – 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {2\,;\,3\,;\, – 2} \right)\).

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = 2\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} .\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = 2\left( {3\,;\, – 1\,;\,\frac{3}{2}} \right) = \left( {6\,;\, – 2\,;\,3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0;3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {6\,;\, – 2\,;\,3} \right)\) làm vecto pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) khi đó là: \(6\left( {x – 2} \right) – 2\left( {y – 0} \right) + 3\left( {z – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x – 2y + 3z – 21 = 0\).

Vậy \(b = – 2\,\,;\,\,c = 3\,;\,\,d = – 21 \Rightarrow T = {b^2} + {c^2} + {d^2} = 454\).