Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\) và \(\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3\\z = – 2 + t\end{array} \right.\). Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\), đồng thời cắt mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 2 = 0\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng \(\pi \sqrt 6 \).
A. \(2\).
B. \(1\).
C. \(0\).
D. Vô số.
Lời giải:
+ Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) lần lượt có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\, – 1;\, – 1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\,0;\,1} \right)\).
+ Gọi mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với cả \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\), do đó \(\left( P \right)\) nhận véctơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { – 1;\,\, – 2;\,\,1} \right)\) là một véctơ pháp tuyến.
Suy ra \(\left( P \right): – x – 2y + z + m = 0\).
+ Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,2;\,0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 3 \).
+ Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có \(2\pi r = \pi \sqrt 6 \Rightarrow r = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Mặt khác \({R^2} = {r^2} + {\left[ {d\left( {I,(P)} \right)} \right]^2} \Rightarrow d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
+ Ta có \(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 1 – 4 + m} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 8\end{array} \right.\).
Khi đó \(\left( {{P_1}} \right): – x – 2y + z + 2 = 0\) hoặc \(\left( {{P_2}} \right): – x – 2y + z + 8 = 0\).
Lấy \(M\left( {2;\,1;\,2} \right) \in {d_1};\,\,N\left( {0;\,3;\, – 2} \right) \in {d_2}\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {{P_1}} \right)\\M \notin \left( {{P_2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \subset \left( {{P_1}} \right)\);\(\left\{ \begin{array}{l}N \notin \left( {{P_1}} \right)\\N \in \left( {{P_2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {d_2} \subset \left( {{P_2}} \right)\)
Vậy không có mặt phẳng nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.