Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{4x + 2y}}{{2{x^2} + {y^2}}}} \right) \ge 2\left( {{x^2} – x + 1} \right) + \left( {{y^2} – y – 1} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y + 3xy.

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{4x + 2y}}{{2{x^2} + {y^2}}}} \right) \ge 2\left( {{x^2} – x + 1} \right) + \left( {{y^2} – y – 1} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y + 3xy.
A. 3
B. 4
C. 2
D. 0

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{{4x + 2y}}{{2{x^2} + {y^2}}}} \right) \ge 2\left( {{x^2} – x + 1} \right) + \left( {{y^2} – y – 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2\left( {2x + y} \right)} \right] – {\log _2}\left( {2{x^2} + {y^2}} \right) \ge 2\left( {{x^2} – x + 1} \right) + \left( {{y^2} – y – 1} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _2}\left( {2x + y} \right) – {\log _2}\left( {2{x^2} + {y^2}} \right) \ge \left( {2{x^2} + {y^2}} \right) – \left( {2x + y} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x + y} \right) + \left( {2x + y} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {2{x^2} + {y^2}} \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f’\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), do đó \(f\left( {2x + y} \right) \ge f\left( {2{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow 2x + y \ge 2{x^2} + {y^2}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {2x + y} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 2 x + 1.y} \right)^2} \le \left( {2{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2} \le 3\left( {2{x^2} + {y^2}} \right) \le 3\left( {2x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2} \le 3\left( {2x + y} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < 2x + y \le 3\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{{3 – y}}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{{\sqrt 2 x}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{y}{1} \Leftrightarrow x = y\).

Khi đó ta có:

\(P = x – y + 3xy \le \dfrac{{3 – y}}{2} – y + 3y.\dfrac{{3 – y}}{2} = \dfrac{3}{2}\left[ {1 + y\left( {2 – y} \right)} \right]\).

Lại có \(y\left( {2 – y} \right) \le {\left( {\dfrac{{y + 2 – y}}{2}} \right)^2} = 1\) nên \(P \le \dfrac{3}{2}\left( {1 + 1} \right) = 3\). Dấu “=” xảy ra khi \(y = 2 – y \Leftrightarrow y = 1\). Khi đó x = 1.

Vậy maxP = 3 khi x = y = 1.