Giải bài 3.39 trang 43 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 3.39 trang 43 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài tập cuối chương III – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Cho \(\sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}.\)

a) Tính \(\sin {75^ \circ },\,\,\cos {105^ \circ },\,\,\tan {165^ \circ }.\)

b) Tính giá trị của biểu thức

\(A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }.\)

Phương pháp giải

–  Dùng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) để tính \(\cos \alpha \)và \(\tan \alpha .\)

–  Áp dụng các công thức lượng giác của các góc phụ nhau, bù nhau để tính \(\sin {75^ \circ },\,\,\cos {105^ \circ },\,\,\tan {165^ \circ }.\)

– Thay các giá trị vừa tính được vào biểu thức \(A.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,{\cos ^2}{15^ \circ } = 1 – {\sin ^2}{15^ \circ } = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow \,\,\cos {15^ \circ } = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}}  = \sqrt {\frac{{8 + 4\sqrt 3 }}{{16}}}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + 2.\sqrt 6 .\sqrt 2  + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{16}}} \\ \Rightarrow \,\,\cos {15^ \circ } = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{16}}}  = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}.\end{array}\)

Ta có: \(\tan {15^ \circ } = \frac{{\sin {{15}^ \circ }}}{{\cos {{15}^ \circ }}} = \frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}:\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4} = 2 – \sqrt 3 \)

a) \(\sin {75^ \circ } = \sin \left( {{{90}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) = \cos {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}.\)

\(\cos {105^ \circ } = \cos \left( {{{180}^ \circ } – {{75}^ \circ }} \right) =  – \cos {75^ \circ } =  – \cos \left( {{{90}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) =  – \sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 2  – \sqrt 6 }}{4}.\)

\(\tan {165^ \circ } = \tan \left( {{{180}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) =  – \tan {15^ \circ } = \sqrt 3  – 2.\)

b) \(A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }.\)

Ta có: \(\cos {165^ \circ } = \cos \left( {{{180}^ \circ } – {{15}^ \circ }} \right) =  – \cos {15^ \circ } =  – \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}.\)

Ta có: \(\sin {165^ \circ } = \tan {165^ \circ }.\cos {165^ \circ } =  – \left( {\sqrt 3  – 2} \right).\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4} = \frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}.\)

\(\begin{array}{l}A = \sin {75^ \circ }.\cos {165^ \circ } + \cos {105^ \circ }.\sin {165^ \circ }\\A = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}.\left( { – \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 2  – \sqrt 6 }}{4}.\frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}\\A = \frac{{ – 4\sqrt 3  – 8}}{{16}} + \frac{{ – 8 + 16\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{ – 16}}{{16}} =  – 1.\end{array}\)