Giải bài tập Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Chân trời)
————-
Giải bài 1 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} + {y^2} – 6x – 8y + 21 = 0\)
b) \({x^2} + {y^2} – 2x + 4y + 2 = 0\)
c) \({x^2} + {y^2} – 3x + 2y + 7 = 0\)
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + x + y – 1
Phương pháp giải
Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)
Lời giải chi tiết
a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\) với \(a = 3,b = 4,c = 21\)
Ta có \({a^2} + {b^2} – c = 9 + 16 – 21 = 4 > 0\). Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(3;4)\) và có bán kính \(R = \sqrt 4 = 2\)
b) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = – 2,c = 2\)
Ta có \({a^2} + {b^2} – c = 1 + 4 – 2 = 3 > 0\). Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1; – 2)\) và có bán kính \(R = \sqrt 3 \)
c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\) với \(a = \frac{3}{2},b = – 1,c = 7\)
Ta có \({a^2} + {b^2} – c = \frac{9}{4} + 1 – 7 = – \frac{{15}}{4} < 0\). Vậy đây không là phương trình đường tròn.
d) Phương trình không có dạng \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.
Giải bài 2 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) \((C)\) có tâm \(I(1;5)\) và bán kính \(r = 4\)
b) \((C)\) có đường kính MN với \(M(3; – 1)\)và \(N(9;3)\)
c) \((C)\) có tâm \(I(2;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(5x – 12y + 12 = 0\)
d) \((C)\) có tâm \(A(1; – 2)\) và đi qua điểm \(B(4; – 5)\)
Phương pháp giải
a) Phương trình đường tròn có dạng \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R
b) Bước 1: Từ đường kính xác định bán kính của đường tròn
Bước 2: Xác định tâm của đường tròn (là trung điểm của đường kính)
c, d) Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến)
Bước 2: Viết phương trình đường tròn \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R
Lời giải chi tiết
a) Đường tròn (C) tâm \(I(1;5)\), bán kính \(r = 4\) có phương trình là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 5} \right)^2} = 16\)
b) \(MN = \sqrt {{{\left( {9 – 3} \right)}^2} + {{\left( {3 – ( – 1)} \right)}^2}} = 2\sqrt {13} \), suy ra bán kính là \(\sqrt {13} \)
Tâm của đường tròn là trung điểm của MN: \(I(6;1)\)
Đường tròn (C) tâm \(I\left( {6;1} \right)\)và bán kính là \(\sqrt {13} \) có phương trình: \({\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 13\)
c) Ta có bán kính của đường tròn \(r = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {5.2 – 12.1 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{9}{{13}}\)
Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2;1} \right)\)và bán kính là \(\frac{9}{{13}}\) có phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = \frac{{81}}{{169}}\)
d) Bán kính của đường tròn là \(r = AB = \sqrt {{{\left( {4 – 1} \right)}^2} + {{\left( {( – 5) – ( – 2)} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \)
Đường tròn (C) tâm \(A(1; – 2)\)và bán kính là \(3\sqrt 2 \) có phương trình: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 18\)
Giải bài 3 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:
a) \(M(2;5),N(1;2),P(5;4)\)
b) \(A(0;6),B(7;7),C(8;0)\)
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn (điểm cách đều ba đỉnh của tam giác, là giao điểm của 3 đường trung trực)
Bước 2: Tính bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến một trong ba đỉnh)
Bước 3: Viết phương trình đường tròn \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R
Lời giải chi tiết
a) Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MN, MP ta có: \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right),B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\)
Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn thẳng MN là đường thẳng đi qua \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {MN} = ( – 1; – 3)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \( – x – 3y + 12 = 0\)
Đường trung trực d của đoạn thẳng MP là đường thẳng đi qua \(B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {MP} = (3; – 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \(3x – y – 6 = 0\)
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(3;3)\) cách đều ba điểm M, N, P suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(3;3)\) và có bán kính \(R = IM = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\)
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right),N\left( {4;3} \right)\)
Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {BA} = ( – 7; – 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \( – 7x – y + 31 = 0\)
Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua \(N\left( {4;3} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {AC} = (8; – 6)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \(8x – 6y – 14 = 0\)
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(4;3)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(4;3)\) và có bán kính \(R = IA = 5\). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 25\)
Giải bài 4 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm \(A(4;2)\)
Phương pháp giải
Bước 1: Gọi \(I(a,b)\) là tâm của bán kính, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,Ox} \right) = IA\\d\left( {I,Oy} \right) = IA\end{array} \right.\)
Bước 2: Viết phương trình đường tròn \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R
Lời giải chi tiết
Gọi tâm của đường tròn là điểm \(I(a;b)\)
Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} ,d\left( {I,Ox} \right) = b,d\left( {I,Oy} \right) = a\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,Ox} \right) = IA\\d\left( {I,Oy} \right) = IA\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} \\a = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} \end{array} \right.\)
Thay \(a = b\) vào phương trình \(a = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} \) ta có:
\(\begin{array}{l}a = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {a – 2} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {a – 4} \right)^2} + {\left( {a – 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {a^2} – 12a + 20 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10\\a = 2\end{array} \right. \end{array}\)
Với \(a = b = 2\) ta có phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 4\)
Với \(a = b = 10\) ta có phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 10} \right)^2} = 100\)
Giải bài 5 trang 63 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} – 2x – 4y – 20 = 0\)
a) Chứng tỏ rằng điểm \(M(4;6)\) thuộc đường tròn \((C)\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(4;6)\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\)song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\)
Phương pháp giải
a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn
+) Nếu biểu thức đó bằng 0 thì M thuộc đường tròn
+) Nếu biểu thức khác 0 thì M không thuộc đường tròn
b) Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm \(I(a;b)\) tại điểm \(M({x_0};{y_0})\)nằm trên đường tròn là: \(\left( {a – {x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {b – {y_0}} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)
c) Bước 1: Xác định pt tổng quát của tiếp tuyến (biết hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vt pháp tuyến)
Bước 2: Xác định tiếp tuyến (biết khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính)
Lời giải chi tiết
a) Thay điểm \(M(4;6)\)vào phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} – 2x – 4y – 20 = 0\)ta có:
\({4^2} + {6^2} – 2.4 – 4.6 – 20 = 0\)
Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)
b) Đường tròn có tâm \(I(1;2)\)
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M(4;6)\) là:
\(\begin{array}{l}\left( {4 – 1} \right)\left( {x – 4} \right) + \left( {6 – 2} \right)\left( {y – 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y + 16 = 0\end{array}\)
c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) nên phương trình có dạng \(d:4x + 3y + c = 0\)
Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: \(I(1;2),r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20} = 5\)
Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = – 35\end{array} \right.\)
Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) là \({d_1}:4x + 3y + 15 = 0,{d_2}:4x + 3y – 35 = 0\)
Giải bài 6 trang 63 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Một cái cầu hình bán nguyệt rộng 8,4 m cao 4,2 m như hình 5. Mặt đường dưới cộng được chia thành hai làn cho xe ra vào.
a) Vết phương trình mô phỏng cái cổng.
b) Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng và không làm hư hỏng cổng hay không?
Phương pháp giải
a) Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ vào đường
Bước 2: Viết phương trình đường tròn với điều kiện ràng buộc
b) Bước 1: Xác định khoảng cách điểm xa nhất tới tâm đường tròn
Bước 2: So sánh kết quả vừa tìm được với bán kinh
+) Nếu nhỏ hơn hoặc bán kính thì có thể đi qua và không làm hỏng cổng
+) Ngược lại, nếu lớn hơn bánh kình thì không thể đi qua cổng
Lời giải chi tiết
a) Ta thấy cổng có hình bán nguyệt và chiều cao của cổng bằng một nửa chiều rộng của đường nên nó có dạng nửa đường tròn
Gắn trục tọa độ tại tim đường, ta có phương trình mô phỏng cái cổng là : \({x^2} + {y^2} = 4,{2^2}\) (với điều kiện \(y > 0\) vì cổng luôn nằm trên mặt đường)
b) Vì xe đi đúng làn nên ta có \(x = 2,2;y = 2,6\)
Khoảng cách từ điểm xa nhất của chiếc xe tài tới tim đường là: \(\sqrt {2,{2^2} + 2,{6^2}} \simeq 3,41\)
Ta thấy rằng \(3,41 < 4,2\), nên chiếc xe có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng
Để lại một bình luận